網絡流
定義
1，網絡流
用類似水流的定義，可以把一張圖視作一堆管道，從s源源不斷的流水，看最多有多少水可以匯聚到t (此處的水大致可以視作是每秒一定寬度的管道流過多少水之類的。)。
2，最大流最小割定理。
顯然如果不把所有可以流的邊都堵死就不能算一個最小割，因爲還有可以到的邊。
或者說最大流會在一組可以割的邊中選最小的那個割掉，因爲一組邊可以流過的水顯然是受容量最小的邊所限制的。
3，必須流和可行流
1，最小割可行邊,
意思就是最小割中可能出現的邊。
充要條件：
1，滿流
2，在殘餘網絡中找不到x ---> y的路徑
解釋：
如果在殘餘網絡中還找得到x--->y的路徑的話，要割掉這條邊就還需要割掉另一條路徑，這顯然是不夠優的。如果是滿流的話顯然不是割掉了這條邊
2，最小割必須邊
1，滿流
2，在殘餘網絡中s 可以到 x， y 可以到 t。
解釋：
滿流的原因和上面原因一樣，同時必須邊肯定也是可行邊（顯然可行邊的範圍就要大一些嘛）。如果滿流但s不能到x or y 不能到 t，因爲這樣的話說明在s 到 x（y 到 t）的路上就已經被割掉了，而不是在這裏割的。但是因爲滿流了，所以這是可行的，但是由於割在別的地方，說明不是必須的。
因此s 必須可以到 x， y 必須可以到s才能保證是必須邊，而不是可行邊
至於實現方法就比較妙了，如果兩個點在一個scc中則表示可以到，因此可行邊需要保證x和y不在一個scc中，而必須邊則還需要額外保證s 和 x 屬於一個scc， y 和 t屬於一個scc。
模板
這裏只放非遞歸版ISAP。雖然看上去比較長，但好寫好調。如果要學習原理的話需要百度？
稍微熟練一點的話，寫起來還是比較快的，十多分鐘吧。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define LL long long
#define AC 10100
#define ac 201000
const int inf = 1e9;
int n, m, x, s, t, all, addflow, head, tail, ans;
int Head[AC], date[ac], Next[ac], haveflow[ac], tot = 1;
int have[AC], good[AC], q[AC], c[AC], last[AC];
inline int read()
{
int x = 0;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x;
}
inline void upmin(int &a, int b) {if(b < a) a = b;}
inline void upmax(int &a, int b) {if(b > a) a = b;}
inline void add(int f, int w, int S)
{
date[++ tot] = w, Next[tot] = Head[f], Head[f] = tot, haveflow[tot] = S;
date[++ tot] = f, Next[tot] = Head[w], Head[w] = tot, haveflow[tot] = 0;
}
void bfs()
{
q[++ tail] = t, c[t] = have[1] = 1;
while(head < tail)
{
int x = q[++ head];
for(R i = Head[x]; i; i = Next[i])
if(!c[date[i]] && haveflow[i ^ 1])
have[c[date[i]] = c[x] + 1] ++, q[++ tail] = date[i];
}
memcpy(good, Head, sizeof(Head));
}
void aru()
{
while(x != s)
{
haveflow[last[x]] -= addflow;
haveflow[last[x] ^ 1] += addflow;
x = date[last[x] ^ 1];
}
ans += addflow, addflow = inf;
}
void isap()
{
bool done;
x = s, addflow = inf;
while(c[s] != all + 1)
{
if(x == t) aru();
done = false;
for(R &i = good[x]; i; i = Next[i])
{
int now = date[i];
if(c[now] == c[x] - 1 && haveflow[i])
{
upmin(addflow, haveflow[i]), last[now] = i;
done = true, x = now; break;
}
}
if(!done)
{
int go = all;
for(R i = Head[x]; i; i = Next[i])
if(c[date[i]] && haveflow[i]) upmin(go, c[date[i]]);
if(!(--have[c[x]])) break;
have[c[x] = go + 1] ++, good[x] = Head[x];
if(x != s) x = date[last[x] ^ 1];
}
}
}
void pre()
{
n = read(), m = read(), s = read(), t = read(), all = n + 3;
for(R i = 1; i <= m; i ++)
{
int x = read(), y = read(), z = read();
add(x, y, z);
}
}
int main()
{
// freopen("in.in", "r", stdin);
pre();
bfs();
isap();
printf("%d\n", ans);
// fclose(stdin);
return 0;
}常見建模
1，最小路徑覆蓋
定義：用最少的鏈覆蓋全圖。
建圖：將每個點分別拆成2個點，一個爲出點，一個爲入點，建立源點和匯點，分別連接s ---> 出點,入點 ---> t,容量爲1，對於圖中的每一條邊，連出點 ---> 入點。ans = 點數 - 最大流
理解：這是一個二分圖匹配問題，匹配2個點相當於合併2條路徑，所以合併路徑越多越優。
2，最小點覆蓋 && 最大獨立集
定義：
在一個二分圖中，有如下定義：
- 最小點覆蓋：選出一個點集使得所有邊都被覆蓋，同時使得點權之和最小；
- 最大獨立集：選出一個點集使得沒有邊2個點都被覆蓋，且點權之和最大。
結論：最小點覆蓋 + 最大獨立集 = 總點集
因爲在最小點覆蓋中，所有邊都被覆蓋了，所以取反之後，每條邊最多隻會選一個端點，因此是一個獨立集。
又由於是最小的點覆蓋，所以取反後的獨立集也是最大的獨立集。
因此我們給這個二分圖增加源匯，然後直接跑最大流。
就是連：
- s ---> 奇點 ： 點權
- 偶點 ---> t ：點權
- x ---> y : inf
於是最大流就保證了每條邊肯定都被覆蓋了。
同時因爲最大流 = 最小割，所以求出的是最小點覆蓋。
那麼如果要求最大獨立集的話，用總點數減一減就可以了。
3，最大權閉合子圖
定義：每個點有點權，要求選出一些點，滿足這些點的出邊連向的點也必須被選且點權之和最大。
建圖：S向正權點連容量爲權值的邊，從負權邊向t連容量爲|權值|的邊，對於原圖上的邊，在圖上連容量爲inf的邊。答案即爲：正權值之和 - 最大流
理解：可以看做先選了所有的點，然後如果割左邊的邊就是放棄選某些正權點，如果割右邊的邊就是選某些正權點然後承受相應代價。
4，帶上下界網絡流
1，無源匯帶上下界可行流。
定義一個數組d[x]表示圖中點x的入度下限和-出度下限和。
建圖方式爲：
對於圖中每一條邊，都連流量爲上界-下界的邊，並在加邊的時候統計d[x]。
對於任意一個點，如果它的d[x] > 0,那麼連s --- > x, 流量爲d[x];
如果它的d[x] < 0, 那麼連x --- > t, 流量爲-d[x]。
然後直接從s到t跑網絡流即可，如果滿流即爲合法，否則不合法。
如何理解？
因爲下界是必須達到的，因此先把所有的邊都強行達到下界。
在強行讓所有邊都達到下界後建出的圖不能保證進入流量 = 流出流量，因爲我們建圖的時候，實際上將多餘or少的流量給忽略了，因此我們要再加一些邊表示這些被忽略的流量。
對於任意一個點，如果d[x] > 0,那麼表示進來的流量有剩餘，還沒有流完，但此時圖中並沒有體現。因此從s給它補充d[x]的流量， 表示x還需要引進額外的d[x]流量。
反之，如果d[x] < 0,那麼表示進來的流量不夠用，除此之外還需要額外流出去-d[x]的流量，但此時圖中並沒有體現。所以向t連邊表示點x還需要向t輸出-d[x]的流量。
如果滿流，那麼代表剩餘的流量可以恰好補全不夠的流量，那麼就是可行了。
同時因爲每條邊都變爲了上界-下界，因此不管怎麼流，都是不會超過上界的，於是就成功的把流量限制在了[下界，上界].
2，有源匯帶上下界可行流。
建圖方式與上述相同，只是把原來的源匯連一條t --- > s : inf的邊（現在的超級源匯爲ss, tt)
3，有源匯帶上下界最大流。
先做一遍可行流，然後去掉ss和tt，在殘餘網絡上跑最大流，最大流即爲答案。
因爲有反向邊，所以之前可行流流出的流量會從反向邊流到t，於是基礎流量就會被滿足了，然後就是在這個基礎上增添流量。
又因爲是最大流，所以跑出來的肯定是最優解。
4，有源匯帶上下界費用流
建圖方式和網絡流差不多，原圖上的邊費用不變，新增的邊費用爲0.一開始減掉下界的時候要加上流下界的費用。
最後和跑出的費用相加，得到最後的費用。
5，切糕模型
問題：給定一個\(n \times m\)的矩陣，給每個位置填上一個\([1, k]\)之間的數，位置\((i, j)\)填\(t\)可以得到\(v(i, j, t)\)的代價。方案合法當且僅當每個位置的數與相鄰的四個位置的數相差不超過\(d\).求一個最小總代價。
建圖：先忽略相差不超過\(d\)的限制，考慮這樣建圖：
對於每個位置，拆成\(k\)個點。
- s ---> (i, j, 1) : v(i, j, 1)
- (i, j, t - 1) ---> (i, j, t) : v(i, j, t)
- (i, j, k) ---> t : inf
於是割掉(i, j, t) ---> (i, j, t + 1)的邊就相當於這個位置填\(t\).
再考慮如果限制\(d\)。
來分析一下這幅圖：
- 對於一個左邊的點\(x\)，如果右邊取的邊比它小\(2\)以上的話，因爲\(inf\)是割不掉的，因此還會有流量通過這條邊將\(\ge x - 2\)的邊充滿，也就相當於取走了上面的邊。
- 對於一個左邊的點\(x\)，如果右邊取的邊比它大\(2\)以上的話，假設右邊取走了\(y \ (y - x > 2)\)，那麼相對於\(y\)而言，就相當於左邊取走了一個比它小\(2\)以上的邊，與上一種情況衝突，所以不會出現。(這兩種情況實際上是站在不同的點上看同一種情況)
因此這個建圖就合法了。