左偏樹&二項堆&斐波那契堆

左偏樹

定義

左偏樹(leftist tree 或 leftist heap)，又被成爲左傾堆、左偏堆，最左堆等。

左傾樹是一棵二叉樹，它的節點除了和二叉樹的節點一樣具有左右子樹指針外，還有兩個屬性：鍵值和零距離。
(01) 鍵值的作用是來比較節點的大小，從而對節點進行排序。
(02) 零距離(英文名NPL，即Null Path Length)則是從一個節點到一個"最近的不滿節點"的路徑長度。不滿節點是指該該節點的左右孩子至少有有一個爲NULL。葉節點的NPL爲0，NULL節點的NPL爲-1。

[性質1] 節點的鍵值小於或等於它的左右子節點的鍵值。
[性質2] 節點的左孩子的NPL >= 右孩子的NPL。
[性質3] 節點的NPL = 它的右孩子的NPL + 1。
定理：若左偏樹有 $N$ 個節點，則根節點的零距離（即最右路徑長度）不超過 $\lfloor\log_2(N-1)\rfloor+1$。

合併

對於合併函數 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}(A,B)$ ，合併兩個左偏堆 $A$ ， $B$ ：

第一步有兩種情況：

1. $A$ 或 $B$ 中任意一個爲空，就返回另一個樹。

2. 合併根節點較小樹（這邊是小根堆）的右子樹和 $B$ 。

如下圖，我們需要合併這兩個左偏堆，分別是 $A,B$ ，其中 $L1$ , $R1$ , $L2$ , $R2$ 爲子樹

若 $a\to data>b\to data$ ，爲了滿足左偏堆的性質， $a$ 節點一定是 $b$ 節點的父親，所以如下合併 $A$ 的右子樹 $R1$ 和 $B$ 。

反之亦然

第二步：

更新NPL，若不滿足左偏性質，交換左右子樹。

代碼如下

leftist_heap merge(leftist_heap &heap1, leftist_heap &heap2)
{
    if(heap1==NULL||heap2==NULL)//情況1
        return heap1==NULL? heap2:heap1;

    if(heap1->data>heap2->data)//爲了更好操作，我們這裏直接交換
        swap(heap1, heap2);

    heap1->right_child=merge(heap1->right_child, heap2);//遞歸合併右子樹
    if(!heap1->left_child||heap1->right_child->NPL>heap1->left_child->NPL)
        swap(heap1->left_child, heap1->right_child); //交換 

    heap1->pushup();//更新dist

    return heap1;
}

可以發現我們所有合併操作都是在最右路徑上操作，又因爲上面的定理，所以左偏堆合併的效率爲 $\mathrm{O}(\log_2n)$。

其他操作

插入，即看成和一個單個節點的樹合併。

刪除最小值，即刪除根節點，然後左右子樹合併。

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斐波那契堆

二項樹

二項樹有兩個定義：

第一種是：

1. 度爲 $0$ 的二項樹只包含一個節點。
2. 度爲 $k(k>0)$ 的二項樹有 $k$ 個兒子，分別是度爲 $k-1,k-2,\dots ,1,0$ 的二項樹

也可以使用第二種：

1. 度爲 $0$ 的二項樹只包含一個節點。
2. 度爲 $k$ 的二項樹由兩個度爲 $k-1$ 的樹組成，其中一個是另一個的根的最左兒子。

如圖：

二項樹的性質：

1.該樹含有$2^k$個節點。
2.樹的高度是 $k$ 。
3.在深度 $d$ 中含有 $C(k,d)$ 個節點。
4.樹的根節點的度爲 $k$ ，其它節點的度都小於 $k$ 。

二項堆

二項堆是二項樹的集合，其中能滿足以下條件：

1. 每一個節點都都有一個關鍵字，滿足孩子關鍵字大於（或小於）根節點的關鍵字。

2. 每個二項樹度數互不相同

如圖：這是一個小根二項堆

二項堆合併：

如圖，合併兩個二項堆：

第一步：合併成一個列表並升序排序。

合併相同的兩個樹

以此類推

兩棵二項樹怎麼合併？

由二項樹定義可得，兩個相同的二項樹可以合併成一個更大的二項樹，其中一個根節點是新樹的根節點，一個是原樹的根節點，一個是最左兒子，參考堆的定義

插入不說

刪除即將需要刪除的節點移到根節點位置，然後刪除，合併所有孩子和原來的堆

其他可以參考刪除

斐波那契堆

斐波那契堆(Fibonacci heap)是堆中一種，它和二項堆一樣，也是一種可合併堆；可用於實現合併優先隊列。斐波那契堆比二項堆具有更好的平攤分析性能，它的合併操作的時間複雜度是O(1)。 與二項堆一樣，它也是由一組堆最小有序樹組成，並且是一種可合併堆。 與二項堆不同的是，斐波那契堆中的樹不一定是二項樹；而且二項堆中的樹是有序排列的，但是斐波那契堆中的樹都是有根而無序的。

斐波那契堆的每個節點需記錄其關鍵字、度數（子節點數）、左兄弟、右兄弟、第一個孩子節點、父節點，還有marked標記(marked在刪除節點時有用)。
而對於一個斐波那契堆，則需記錄堆中節點的總數、最大度、最小節點(某個最小堆的根節點)。
由於堆中的樹沒有規定的形狀，在極端情況下，堆中每個元素都是一棵單獨的樹。這種靈活性使得一些操作可以以“偷懶”的方式來執行，而“剩下”的工作將推遲到後面的操作中來完成。比如堆的合併僅僅將由樹所組成的鏈表鏈接起來，而降低元素值(decrease key)有時直接從父結點中剪斷而形成一棵新樹。

抽取最小結點的操作是斐波那契堆中較複雜的操作。該操作有以下兩個步驟：
(1）將要抽取最小結點的子樹都直接串聯在根表中；
(2）合併所有degree相等的樹，直到沒有相等的degree的樹。

而改變節點值則是斐波那契堆中最複雜的操作。以減小元素值爲例，假設一個結點P的元素值爲A，現在要將其降低爲B，其父結點的值爲C，則遵循這樣的規則：
1、若B>=C, 則直接將A替換爲B即可
2、若B<C, 結點P的父結點是根結點，則直接將結點P從根結點處剪斷，形成一棵新樹
3、若B<C, 結點P的父結點不是根結點，則將結點P從父結點處剪斷，形成一棵新樹，然後將父結點設置爲marked
4、若B<C, 並且父結點已經被marked了，則不僅要將結點P從父結點處剪斷，而且依次往上遞歸將被marked的父結點也從其父結點處剪斷，直到碰到一個父結點沒有被marked，或者碰到根結點爲止

這樣，我們運用斐波那契堆，求最小值(find-mininum), 插入(insert), 降低元素值(decrease-key)和合並(merge/union)可以便在$\mathrm{O}(1)$時間內完成。刪除(delete)和刪除最小值(delete minimun)可以在$\mathrm{O}(\log_2n)$均攤時間內完成。

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附表：

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聲明：本文大部分參考自左偏堆&斐波那契堆、斐波那契堆(一)之 圖文解析 和 C語言的實現、斐波那契堆。