【類歐幾里得學習小記】

類歐幾里得算法因爲形式上像歐幾里得算法而得名，其時間複雜度也和歐幾里得算法一致，類歐幾里得算法有很多應用，下面只舉部分例子。

目標

求出以下三個函數值

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋

g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋

h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2

設m=⌊an+bc⌋

f

當a==0時

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋

=bc(n+1)

當(a>=c)||(b>=c)時

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋

=∑ni=0(aci+bc+(a%c)i+b%cc)

=acn(n+1)/2+bc(n+1)+f(a%c,b%c,c,n)

當(a<c)and(b<c) 時

f(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋

=∑ni=0∑mj=1[ai+bc>=j]

=∑ni=0∑m−1j=0[ai+bc>=j+1]

=∑ni=0∑m−1j=0[ai+b>=cj+c]

=∑ni=0∑m−1j=0[ai+b>cj+c−1]

=∑ni=0∑m−1j=0[i>cj+c−b−1a]

=∑m−1j=0∑ni=0[i>cj+c−b−1a]

=∑m−1j=0(n−cj+c−b−1a)

=nm−∑m−1j=0cj+c−b−1a

=nm−f(c,c−b−1,a,m−1)

g

當a==0時

g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋

=⌊bc⌋n∗(n+1)/2

當(a>=c)||(b>=c)時

g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋

=∑ni=0i(aci+bc+(a%c)i+b%cc)

=acn(n+1)(2n+1)/6+bcn(n+1)/2+g(a%c,b%c,c,n)

當(a<c)and(b<c)

g(a,b,c,n)=∑ni=0i⌊ai+bc⌋

=∑m−1j=0∑ni=0i[i>cj+c−b−1a]

=∑m−1j=0(n+cj+c−b−1a−1)(n−cj+c−b−1a)/2

=12mn(n+1)−12f(c,c−b−1,a,m−1)−12h(c,c−b−1,a,m−1)

h

當a==0時

h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2

=(bc)2(n+1)

當(a>=c)||(b>=c)時

h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2

x2=2x(x+1)2−x

=2∑xi=1i−x

h(a,b,c,n)=∑ni=0⌊ai+bc⌋2

=2∑ni=0∑ai+bcj=1j−f(a,b,c,n)

=2∑mi=1i∑nj=0[aj+bc>=i]−f(a,b,c,n)

=2∑m−1i=0(i+1)∑nj=0[j>ci+c−b−1a]−f(a,b,c,n)

=nm(m+1)−2f(c,c−b−1,a,m−1)−2g(c,c−b−1,a,m−1)−f(a,b,c,n)

至此我們已經可以解決這一類類歐幾里得問題。