Problem
Hint
Solution
- 這道題是妥妥的送了45points。因爲100以內的數的約數個數均≤12,我們找出n的約數後,暴力dfs填數即可。時間複雜度O(σ(n)2m) 。
- 不過,滿分做法還是需要一點思維的。
- 假設我們現在的x數列滿足條件I(∀i∈[1,2m],xi∈Z+,xi|n )。
- 令F(x)=∏2mi=1 。令s1表示F(x)<nm 的方案數,s2表示F(x)=nm 的方案數,s3表示F(x)>nm 的方案數。
- 對於一組F(x)<nm 的x,令x′=(nx1,nx2,...,nx2m),F(x′)=n2mF(x)>nm 。因此:
s1=s3,s1+s2+s3=σ(n)2m,s1+s2=σ(n)2m+s22
- σ(n) 是除數函數,這裏表示的是n的約數個數。我們可以直接O(n−−√) 找。
- 接下來,我們要求s2,即求有多少F(x)=nm 。
- 將n分解質因數,對於每一個質因子p,其方案都是相對獨立的。令ai表示xi中p的指數,w表示n中p的指數。
- 要求∑2mi=1ai=w∗m,0≤ai≤w 的方案數。
- 設f[i][j]表示前i個數和爲j的方案數。
- 轉移顯然。
- 我們算出每個質因子p的答案後,乘起來即是s2。
- 時間複雜度:O(n−−√+log2 n∗m2) 。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define P(x,y) x=(x+y)%mo
#define T(x,y) x=(x*y)%mo
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=201,S=20;
const ll mo=998244353;
int i,j,k,n,m,t,tmp,x,w;
ll ys,s2,f[M][S*M];
ll fpow(ll x,int y)
{
ll ans=1;
for(;y;y>>=1)
{
if(y&1) T(ans,x);
T(x,x);
}
return ans;
}
void work(int x)
{
w=0;
while(tmp%x==0) w++, tmp/=x;
memset(f,0,sizeof f);
f[0][0]=1;
fo(i,1,m<<1)
fo(j,0,w*m)
fo(k,0,min(j,w))
P(f[i][j],f[i-1][j-k]);
T(s2,f[m<<1][w*m]);
}
int main()
{
freopen("count.in","r",stdin);
freopen("count.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m); t=sqrt(tmp=n);
s2=1;
fo(x,1,t)
if(n%x==0)
{
ys+=1+(x*x<n);
if(x>1&&tmp%x==0) work(x);
}
if(tmp>1) work(tmp);
ys=fpow(ys,m<<1);
printf("%lld",(ys+s2)*fpow(2,mo-2)%mo);
}