【leetCode-DP】64. 最小路徑和

給定一個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和爲最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因爲路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

結合我們的做題步驟：

1）.定義一個能夠清楚描述最優子問題的數組（明確數組描述的含義）。

2）.找出數組元素之間的關係式(狀態轉移方程)

3）.找出初始值

按照步驟完成解題：

1.定義dp[i][j] 代表 從(0,0)到當前位置(i,j)路徑和最小

2.我們知道dp[i][j]由 dp[i-1][j]或者dp[i][j-1]轉移過來 由此我們可以得到狀態轉移方程： dp[i][j] = min(dp[i][j-1] , dp[i-1][j]) + grid[i][j];

3.初始化 

for(int i = 1;i < row;i++)
        dp[i][0] =dp[i-1][0] + grid[i][0];

for(int i = 1;i < col;i++)
        dp[0][i] =dp[0][i-1] + grid[0][i];

 

優化

同我們之前做的DP一樣，在求解的時候發現並不需要保存整個矩陣的狀態，只需要當前行和當前列即可，同時又可以進一步優化，既dp[j]代表 從（0，0）走到第i行 j列位置上，最小的路徑元素和。不用保存整個矩陣的狀態，一維dp數組 迭代表示不同行上的路徑累積和狀態 ，於是狀態轉移方程編程:

dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1]) + grid[i][j];  其中Math.min()中的dp[j]標識i-1層的路徑和狀態 ，等號左邊的dp[j]標識i行的狀態

        dp[0] = grid[0][0];
        //初始化第0行的dp狀態
        for(int j = 1; j < col; j++){
            dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j];
        }

        for(int i = 1; i < row; i++){
            //初始化第i行 0列的dp狀態
            dp[0] += grid[i][0] ;
            for(int j = 1; j < col; j++){
                dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1]) + grid[i][j];
            }
        }