左偏树&二项堆&斐波那契堆

左偏树

定义

左偏树(leftist tree 或 leftist heap)，又被成为左倾堆、左偏堆，最左堆等。

左倾树是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针外，还有两个属性：键值和零距离。
(01) 键值的作用是来比较节点的大小，从而对节点进行排序。
(02) 零距离(英文名NPL，即Null Path Length)则是从一个节点到一个"最近的不满节点"的路径长度。不满节点是指该该节点的左右孩子至少有有一个为NULL。叶节点的NPL为0，NULL节点的NPL为-1。

[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
[性质2] 节点的左孩子的NPL >= 右孩子的NPL。
[性质3] 节点的NPL = 它的右孩子的NPL + 1。
定理：若左偏树有 $N$ 个节点，则根节点的零距离（即最右路径长度）不超过 $\lfloor\log_2(N-1)\rfloor+1$。

合并

对于合并函数 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}(A,B)$ ，合并两个左偏堆 $A$ ， $B$ ：

第一步有两种情况：

1. $A$ 或 $B$ 中任意一个为空，就返回另一个树。

2. 合并根节点较小树（这边是小根堆）的右子树和 $B$ 。

如下图，我们需要合并这两个左偏堆，分别是 $A,B$ ，其中 $L1$ , $R1$ , $L2$ , $R2$ 为子树

若 $a\to data>b\to data$ ，为了满足左偏堆的性质， $a$ 节点一定是 $b$ 节点的父亲，所以如下合并 $A$ 的右子树 $R1$ 和 $B$ 。

反之亦然

第二步：

更新NPL，若不满足左偏性质，交换左右子树。

代码如下

leftist_heap merge(leftist_heap &heap1, leftist_heap &heap2)
{
    if(heap1==NULL||heap2==NULL)//情况1
        return heap1==NULL? heap2:heap1;

    if(heap1->data>heap2->data)//为了更好操作，我们这里直接交换
        swap(heap1, heap2);

    heap1->right_child=merge(heap1->right_child, heap2);//递归合并右子树
    if(!heap1->left_child||heap1->right_child->NPL>heap1->left_child->NPL)
        swap(heap1->left_child, heap1->right_child); //交换 

    heap1->pushup();//更新dist

    return heap1;
}

可以发现我们所有合并操作都是在最右路径上操作，又因为上面的定理，所以左偏堆合并的效率为 $\mathrm{O}(\log_2n)$。

其他操作

插入，即看成和一个单个节点的树合并。

删除最小值，即删除根节点，然后左右子树合并。

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斐波那契堆

二项树

二项树有两个定义：

第一种是：

1. 度为 $0$ 的二项树只包含一个节点。
2. 度为 $k(k>0)$ 的二项树有 $k$ 个儿子，分别是度为 $k-1,k-2,\dots ,1,0$ 的二项树

也可以使用第二种：

1. 度为 $0$ 的二项树只包含一个节点。
2. 度为 $k$ 的二项树由两个度为 $k-1$ 的树组成，其中一个是另一个的根的最左儿子。

如图：

二项树的性质：

1.该树含有$2^k$个节点。
2.树的高度是 $k$ 。
3.在深度 $d$ 中含有 $C(k,d)$ 个节点。
4.树的根节点的度为 $k$ ，其它节点的度都小于 $k$ 。

二项堆

二项堆是二项树的集合，其中能满足以下条件：

1. 每一个节点都都有一个关键字，满足孩子关键字大于（或小于）根节点的关键字。

2. 每个二项树度数互不相同

如图：这是一个小根二项堆

二项堆合并：

如图，合并两个二项堆：

第一步：合并成一个列表并升序排序。

合并相同的两个树

以此类推

两棵二项树怎么合并？

由二项树定义可得，两个相同的二项树可以合并成一个更大的二项树，其中一个根节点是新树的根节点，一个是原树的根节点，一个是最左儿子，参考堆的定义

插入不说

删除即将需要删除的节点移到根节点位置，然后删除，合并所有孩子和原来的堆

其他可以参考删除

斐波那契堆

斐波那契堆(Fibonacci heap)是堆中一种，它和二项堆一样，也是一种可合并堆；可用于实现合并优先队列。斐波那契堆比二项堆具有更好的平摊分析性能，它的合并操作的时间复杂度是O(1)。 与二项堆一样，它也是由一组堆最小有序树组成，并且是一种可合并堆。 与二项堆不同的是，斐波那契堆中的树不一定是二项树；而且二项堆中的树是有序排列的，但是斐波那契堆中的树都是有根而无序的。

斐波那契堆的每个节点需记录其关键字、度数（子节点数）、左兄弟、右兄弟、第一个孩子节点、父节点，还有marked标记(marked在删除节点时有用)。
而对于一个斐波那契堆，则需记录堆中节点的总数、最大度、最小节点(某个最小堆的根节点)。
由于堆中的树没有规定的形状，在极端情况下，堆中每个元素都是一棵单独的树。这种灵活性使得一些操作可以以“偷懒”的方式来执行，而“剩下”的工作将推迟到后面的操作中来完成。比如堆的合并仅仅将由树所组成的链表链接起来，而降低元素值(decrease key)有时直接从父结点中剪断而形成一棵新树。

抽取最小结点的操作是斐波那契堆中较复杂的操作。该操作有以下两个步骤：
(1）将要抽取最小结点的子树都直接串联在根表中；
(2）合并所有degree相等的树，直到没有相等的degree的树。

而改变节点值则是斐波那契堆中最复杂的操作。以减小元素值为例，假设一个结点P的元素值为A，现在要将其降低为B，其父结点的值为C，则遵循这样的规则：
1、若B>=C, 则直接将A替换为B即可
2、若B<C, 结点P的父结点是根结点，则直接将结点P从根结点处剪断，形成一棵新树
3、若B<C, 结点P的父结点不是根结点，则将结点P从父结点处剪断，形成一棵新树，然后将父结点设置为marked
4、若B<C, 并且父结点已经被marked了，则不仅要将结点P从父结点处剪断，而且依次往上递归将被marked的父结点也从其父结点处剪断，直到碰到一个父结点没有被marked，或者碰到根结点为止

这样，我们运用斐波那契堆，求最小值(find-mininum), 插入(insert), 降低元素值(decrease-key)和合并(merge/union)可以便在$\mathrm{O}(1)$时间内完成。删除(delete)和删除最小值(delete minimun)可以在$\mathrm{O}(\log_2n)$均摊时间内完成。

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附表：

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声明：本文大部分参考自左偏堆&斐波那契堆、斐波那契堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现、斐波那契堆。