AtCoder Grand Contest 082E ConvexScore 亂搞

Description

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給n個平面上的點。定義一個點的集合S的權值爲2^|S|-|T|，其中T是集合S在凸包上的點
求所有點的集合的權值之和

Solution

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看不懂題是最大的阻礙。。

那個|S|-|T|實際上就是凸包內部的點，那麼S權值的含義就是那些點集的凸包和S的凸包相同
於是問題就變成了可以任意選點，問組成凸包的數量。這個我們減去單點和直線的情況算答案就可以了

Code

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
const int N=200005;

struct pos {int x,y;} p[N];

pos operator -(pos a,pos b) {
	return (pos) {a.x-b.x,a.y-b.y};
}

int operator *(pos a,pos b) {
	return a.x*b.y-b.x*a.y;
}

LL bin[N];

int read() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):v,ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

bool line(pos a,pos b,pos c) {
	return (a-b)*(c-b)==0;
}

int main(void) {
	bin[0]=1; rep(i,1,N-1) bin[i]=bin[i-1]*2LL%MOD;
	int n=read();
	rep(i,1,n) p[i].x=read(),p[i].y=read();
	LL ans=bin[n]-n-1-(n-1)*n/2; ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
	rep(i,1,n) rep(j,i+1,n) {
		int s=0;
		rep(k,j+1,n) {
			s+=line(p[i],p[j],p[k]);
		}
		ans=(ans+MOD-bin[s]+1)%MOD;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}