Zoj 2316 Matrix Multiplication(思路)

H - Matrix Multiplication

ZOJ - 2316

首先我先说明一下，如果我英语不是太渣的话那么题中说的矩阵是$n*m$的矩阵。（我知道是$n*n$的邻接矩阵）。但是我看题解矩阵$A$都是$n*n$的邻接矩阵

题意：

​ $n​$个顶点，$m​$个双向边，下面输入$m​$个边，从而生成一个矩阵$A​$,如果顶点$u​$,$v​$之间有一条边，那么$A_{u~v}​$的值为1，否则为$0​$ 。现在让你求$A^{T}*A​$ 所得的矩阵的元素和。

解法：

​ 首先因为边是双向的，所以$A^{T}=A$ ，故求$A*A$的元素和即可。但很明显的是矩阵相乘肯定不行，时间复杂度太大。

​ 我们可以转化为另一个问题，路径长度为2的所有路径个数。

​ 可以用组合学的加法原理，因为所有路径长度为2的路径的中间节点是确定的，我们可以把问题转化为$1$~$n$ 每个节点作为长度为2的路径的中间节点的路径条数之和，比如样例边 1 2 ，2 3,对应的所有路径有

2 1 2

1 2 1

1 2 3

3 2 1

3 2 3

2 3 2

​

​ 我们可以枚举每个顶点u，顶点u作为路径长度为2的中间节点的路径个数为:顶点$u$的入度$*$顶点$u$的出度, 又因为边是双边边，故每个顶点的入度等于出度。

​ 故我们求所有顶点$u$的度数平方和即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e4+200;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll degree[maxn];
int main(){
    ll ans=0;
    int t,n,m,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        if(cas)
            puts("");
        cas=1;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        mset(degree,0);
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            degree[u]+=1;
            degree[v]+=1;
        }
        ans=0ll;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            ans+=degree[i]*degree[i];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

​