每日一題——編程：連續子數組的最大和leedcode53

題目：給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，爲 6。

解法一：暴力破解法  時間複雜度O(N^3) 超時

這是我們最容易想到的，通過枚舉暴力破解，但是時間複雜度過高，算法運行超時。

def maxSubArray1(nums):
    maxnum = pow(-2, 31)#最小的整數
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i,len(nums)):
            sumnum = 0
            for k in range(i,j+1):
                sumnum += nums[k]
            if sumnum > maxnum:
                maxnum = sumnum
    return maxnum

解法二：改進暴力破解法 時間複雜度O(N^2)  依然超時，看來題目要求是O(N)的時間複雜度

def maxSubArray2(nums):
    maxnum = pow(-2, 31)  # 最小的整數
    for i in range(len(nums)):
        sumnum = 0
        for j in range(i, len(nums)):
            sumnum += nums[j]
            if sumnum > maxnum:
                maxnum = sumnum
    return maxnum

解法三：掃描法O(N)

我們可以從正負數入手，當我們加上一個正數時，和會增加；當我們加上一個負數時，和會減少。所以我們需要判斷當前的和是正數還是負數，如果是正數繼續向下累加，如果是負數，應該拋棄當前數重新開始加和。（據說這個算法是一個統計學家提出的，證明）

def maxSubArray3(nums):
    current = nums[0]  # 設置的初始值
    sum = 0
    for i in range(len(nums)):
        if sum > 0:
            sum += nums[i]
        else:
            sum = nums[i]
        if sum > current:
            current = sum
    return current

解法四：

動態規劃知識點

定義：Dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems,solving each of those subproblems just once,and storing their solutions.

基本思想：一般來說，只要問題可以劃分爲規模更小的字問題，並且原問題的最優解中包含了子問題的最優解，則可以考慮用動態規劃解決。動態規劃的實質是分治思想和解決冗餘。因此，動態規劃是一種將問題實例分解爲更小的/相似的子問題，並存儲子問題的解，使得每個子問題只求解一次，最終獲得原問題的答案，以解決最優化問題的算法策略。

思想：我們遍歷nums數組，求出對應下標的最大連續子數組的和，並且保存在nums數組中。假設nums[i]是以第i個元素結尾的最大的連續子數組的和，這樣對於i之前的元素對應的最大連續子數組的長度都已經求得了。我們只需要判斷nums[i] + nums[i-1] 是否大於nums[i]，將兩者中較大的值作爲nums[i]的值即可。如此迭代，即可得到整個數組每個元素對應的最大連續子數組和。

def maxSubArray4(nums):
    length = len(nums)
    for i in range(1,length):
        subMaxSum = max(nums[i] + nums[i-1],nums[i])
        nums[i] = subMaxSum
    return max(nums)

 

參考鏈接：

1、https://blog.csdn.net/zwzsdy/article/details/80029796

2、https://blog.csdn.net/qq_27480345/article/details/86095087

3、https://blog.csdn.net/iva_brother/article/details/84037050

4、https://blog.csdn.net/u013250416/article/details/80558542