動態規劃問題 —— 最長公共子序列

題目描述

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對於兩個字符串，請設計一個高效算法，求他們的最長公共子序列的長度，這裏的最長公共子序列定義爲有兩個序列U1,U2,U3...Un和V1,V2,V3...Vn,其中Ui&ltUi+1，Vi&ltVi+1。且A[Ui] == B[Vi]。

給定兩個字符串A和B，同時給定兩個串的長度n和m，請返回最長公共子序列的長度。保證兩串長度均小於等於300。

測試樣例：

"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回：6

解題思路

定義一個矩陣z[m+1][n+1]，其中z[i][j]代表字符串A中的前i個字符串和字符串B的前j個字符串的最長公共子序列。其中z[0][j]行與z[i][0]代表矩陣的第一行和第一列，其值均爲0；接下來考慮求z[i][i]時，先判斷A[i]和B[j]是否相同，如果相同就是z[i-1][j-1]+1，相當於在兩個字符串都去掉一個字符時的最長公共字串再加1；否則取z[i][j-1]和z[i-1][j]中最大值；於是，從z[1][1]開始，依照從左到右、從上到下的次序計算整個矩陣z，矩陣z右下角的值即爲串A和B的最長公共子序列。

測試樣例對應的矩陣z爲：

[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1],
 [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
 [0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2],
 [0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2],
 [0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6],
 [0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6]]

示例程序：

# -*- coding:utf-8 -*-
class LCS:
    def findLCS(self, A, n, B, m):
        # write code here
        z = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if A[j-1]==B[i-1]:
                    z[i][j] = z[i-1][j-1] + 1
                else:
                    z[i][j] = max(z[i-1][j],z[i][j-1])
        return z[m][n]