本文是在Optaplanner創始人 Geoffrey De Smet先生的一篇文章《Formula for measuring unfairness》的基礎上進行翻譯而成。因爲其博文發表在Optaplanner的官網上，因此，其行文過程中存在一定的上下文默認情況，如果直譯原文，將會大大降低其可讀性。因此，本文是在原文的基礎上添加一些本人修飾的表達而成。
負載均衡在Optapalnner的應用案例中是一種極爲常見的約束，特別是做一些人員排班等場景，各人的工作量需要儘可能公平分配。但是，說起來容易做起來難。本篇讓我們來研究一下這個具挑戰性的問題。
本文中，我們使用以下案例：有15個煩人的任務，需要分配給5個員工，每個任務需時1天來完成，且每個任務都有不同的人員技能要求。
何謂公平？
我們先來看看兩個關於公平，但又對立的定義：
- 如果大多數員工都認爲對自己公平的，那這個方案就是公平的。
- 對於分得最多任務的員工而言，其所分的任務越少，則這個安排就越公平。（即越平均越公平）
很顯然，因爲我們想將方案調整到對所有人都是平等，第2個定義更正確。此外，如果爲了讓幾乎所有人都高興，我們把所有任務都分配給一個人（例如都分給阿Ann），那麼她很可能馬上就走人了。因此，這種想法不可行。如下表：
按公平性對各個方案進行排序
我們來看看同一問題下的若干任務分配方案，都是15個煩人的任務：
以上是將7個方案的公平程度，從高到低排列。也許這些方案有些是不可行的，因爲有些任務是有特定的技術要求。從上表可以看出，所有方案中，阿Ann都滿足"分到最多任務"的條件。那麼，我們如何對比阿Ann具有相同任務數的兩個不同方案呢？
我們截取阿Ann的任務數相同的兩個方案(C和D)如下表：
在這種情況下，我們看看除最不公平的Ann以外，正處於第二不公平的員工Beth的任務分配情況, 在此基礎上，我們最小化她的任務，按照公平定義的第2條，因阿Ann的任務任務數在兩個方案中不變，這兩個方案中，對於分得第二多任務的Beth,若分得的任務越少，則越公平。
綜上，我們找到了公平性的定義 - 儘可能平均，那麼我們應該如何實現它呢？
衡量公平的方式
理想情況下，我們想通過計算出一個懲罰性分值，用於衡量一個方案的公平性。分值越低越公平。我們應該如何計算這個分值呢？我們先來看看一些公式。
離均差
因爲在完美公平的分配方案中，所有的員工分得的任務數是平均的，如果我們簡單地加總每個員工的任務數，再與均值對比，會怎麼樣？
我們先看看絕對離均差與平均離均差兩個公式，並對上表的各個方案進行，使用這兩個公式進行計算：
絕對離均差：
平均離均差：
兩個衡量公式計算出來的結果如下：
上表的測量結果相當糟糕。在表中：
- 對比方案B與方案C（兩個方案的公式計算結果值一樣），它們公平性一樣嗎？不是的，因爲兩個方案中，各人的任務數不同。
- 再對比方案D與方案E，前者兩公式的計算結果都比後者高，那麼方案D真的比方案E差嗎？也不是的，問一下阿Ann就知道了，方案E中她竟然分得6個任務。
方差與標準差
在統計學上，方差與標準差用於計算數據的離散程度。聽起來好像正滿足我們需求，我們來看看相關公式：
方差：
標準差：
離均差的平方：
方差乘以n
離均差的平方根：
四種公式的計算結果：
上表可見，這四個公式對於公平性衡量結果已經不錯，但仍未夠理想。例如按4個公式計算結果一致的方案D和E，理論上應該是具有相同的公平程度的，但事實上這兩個方案公平性並不一致。
最大值
如果我們對每個方案中，取最大任務數，作爲公平性的衡量標準會怎麼樣呢？
其公式應該是:
那麼應用於7個方案，其結果是：
這種衡量方式比方差還糟，它只關注一個員工（任務數最大那個）。因此，這種方式完全拋棄了員工之間的公平性。如果只是針對一個員工衡量其公平性還可行，但當對數據衆多的員工一起衡量時就不行了。
任務數列
如果我們不使用任何公式作爲公平性衡量標準，我們把所每個方案中，每個員工的任務數都列出來，形成一個任務數的數列，並從小到大把這數列排序，會怎麼樣？
從上表可以看，可以完美地對比各方案的公平性！那麼在Optaplanner裏要實現這種衡量方式，我們需要針對每個員工定一個分數級別，Optaplanner會按分數級別進行排序，來找最佳方案。但是，如果我們需要排的員工數量非常大呢？要實現這種衡量方式，除了在運行過程要消耗大量的內存外，如此大數量的評價級別，會與其它約束產生衝突，也難以實現。
不存在單獨的約束
在規劃問題中，公平性是一種典型的軟約束。但在同一個規劃問題中，同時存在其它軟約束，這些約束也是需要進行優化考慮的。因此，我們需要爲這些約束添加相應的權重，令它們互相制衡。
舉例
例如同樣是上述的任務分配規劃問題，存在一個稱爲優先級約束，它的重要性是10倍於公平性約束。我們再往這個問題中添加1500個任務，我們看看其分配方案開來是怎樣的：
計算軟約束分數時，我們把公平性約束分數乘以５倍並加總，再取負。
接下來我們開始處理：
用單一數值表示
每個方案的任務數列並不代表一個單獨的數值，因爲這個數列中的每個數，對應於不同的評分級別。因此，任務數列無法跟優先級約束進行綜合評價。如下表：
懲罰分數隨着違反次數的增長而增長
如何我們將問題擴展到1500個員工，我們會發現，若取最大任務數作爲約束，則該約束會被優先級約束矮化。
類似地，平均離均差、方差及標準差等衡量方式，其公平性，也會隨着數量（即問題規模，通過任務與員工的數量體現）增大，而被矮化。如下表：
因此，隨着公平性約束違反量的增多，衡量公平性的比重也應該隨之增大。
公平性違反比重，不能隨着違反量的增大而逞指數式增長
另一方面，當數據量增大時，公平性的違反比重不能對其它的約束起到矮化作用。如果使用方差作爲衡量方式則會出現此情況，見下表。
結論
對於上述討論到的公平性衡量方式：
- 絕對離均差作爲公平性衡量方式時效果最差。
- 離均差的平方根作爲公平性衡量方式，未盡完美但夠用。
因此，推薦的方法是離均差的平方根：：
其效果見下表：
補充說明
處理的問題中，若存在非均等員工時。例如，有些員工的工作時候只有其它員工的一半，在將其代入公式計前，需要將他們可分配的任務數乘上他們FTP(full time equivalent,全職時間等價值)的倒數。其它需要考慮非均待員工的因素（例如殘疾或人才保留對象），也可以使用類似的方法，或使用一些單獨的約束進行區分，具體辦法需視現實的業務需求而定。
原文地址：
Formula for measuring unfairness
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