SSA 奇異普分析

Trickett S . F-xy Cadzow noise suppression[J]. Seg Technical Program Expanded Abstracts, 2008, 27(1):2586.
Trickett S R . Fx eigenimage noise suppression[J]. Seg Technical Program Expanded Abstracts, 2002, 21(1):2478.

簡介

基於奇異普分析的地震噪聲壓制和插值方法也屬於一大類方法，還有別的名字，如SSA，MSSA（多通道，三維），Cadzow方法（最原始的文獻），本文將採樣SSA，即奇異普分析這個名字。SSA的推導過程與$f-x$反褶積類似，不同的地方在於將線性同相軸下的自迴歸性質用矩陣的低秩性質來表示，這裏面涉及到一個向量到矩陣的變換，是通過Hankel矩陣實現的。另外在推導$f-x$自迴歸濾波器時，我們也提到其中有個構造出來範德蒙的矩陣是低秩的。還有類外一類低秩方法，是通過塊變換形成的矩陣的低秩性來做的，並不是通過線性同相軸推導的，因此不介紹的。

方法

之前我們在$f-x$反褶積中推導過如下公式：
$\hat u(\omega,k\Delta x)=\hat v(\omega)\sum_{j=1}^pe^{-ip_jk\Delta x \omega}$
令$t_k=\hat u(\omega,k\Delta x)$ ，構造如下矩陣：
$A=\left(\begin{matrix}t_1 & t_2 & t_3 &\cdots & t_{N-n+1}\\ t_2 & t_3 & t_4 &\cdots & t_{N-n+2}\\ t_3 & t_4 & t_5 & \cdots & t_{N-n+3} \\ \cdots \\ t_n & t_{n+1} & t_{n+2} & \cdots & t_{N} \\ \end{matrix}\right)$
此時，$A$的秩至多爲$p$（Stephenson，1988）。一般取$n=N/2$使得$A$爲方陣。

算法

• 對數據進行傅立葉變換形成矩陣$A$
• 計算$A$的低秩近似
• 在$A$的反對角上進行平均得到得到新的傅立葉變換係數
• 傅立葉反變換得到去噪後的數據

 for k = ilow:ihigh; # 處理不同頻率
 tmp  = DATA_FX_tmp(k,:)';
 for ic = 1:Ncol;
  for ir = 1:Nrow;
   M(ir,ic) = tmp(ir+ic-1); #形成Hankel陣
  end;
 end
 [U,S,V] = svd(M); #SVD分解
 SS(k,:) = diag(S); 
 for p=1:min([Nrow,Ncol]);
     if p~=P
         S(p,p)=0;
     end
 end;
 SSf(k,:) = diag(S);  # 閾值處理
 Mout = U*S*V';
Count = zeros(ntraces,1);
tmp = zeros(ntraces,1);
 for ic = 1:Ncol;
  for ir = 1:Nrow;
   Count(ir+ic-1,1) = Count(ir+ic-1,1)+1; # 反對角求和
   tmp(ir+ic-1,1)  = tmp(ir+ic-1,1) + Mout(ir,ic);
  end;
 end
 tmp = tmp./Count;
  DATA_FX_f(k,:) = tmp';
 end;

證明

若要證明$A$的秩爲$p$，需證明任意一行均可以用其它任意$p$行線性表示，取一個例子，假設第$p+1$行可以用前$p$行線性表示，即：
$\left(\begin{matrix} t_{p+1} & t_{p+2}& t_{p+3}&\cdots & t_{N-n+p+1}\end{matrix}\right) \\=\left(\begin{matrix} a_{1} & a_{2}& a_{3}&\cdots & a_{p}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}t_1 & t_2 & t_3 &\cdots & t_{N-n+1}\\ t_2 & t_3 & t_4 &\cdots & t_{N-n+2}\\ t_3 & t_4 & t_5 & \cdots & t_{N-n+3} \\ \cdots \\ t_p & t_{p+1} & t_{p+2} & \cdots & t_{N} \\ \end{matrix}\right)$
將每一列分解出來，得到：
$t_{p+i}=\left(\begin{matrix} a_{1} & a_{2}& a_{3}&\cdots & a_{p}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} t_{i+1} \\ t_{i+2} \\ \cdots \\ t_{i+p} \\ \end{matrix}\right)$
這是一個迴歸關係，根據在$f-x$論文中的推導，上式是成立的，證明完畢。