f-x反褶積

f-x反褶積（鏈接）
Canales, 1984, Random noise reduction, 54.th. Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, pp. 525-527

簡介

$f-x$ 反捲積是一種地震數據去噪方法，其基本假設是具有線性同向軸的地震數據在$f-x$域中的每個頻率切片都可以進行自迴歸表示。$f-x$反捲積方法是很多算法的基礎，因此理論推導寫的比較詳細。之所以稱爲反捲積，可以理解爲求卷積係數，也可以理解爲求降噪數據。（一般反捲積是指求數據，而不是係數）。

理論

一般理論

含有線性同向軸的二維地震數據在$t-x$域可以標示成如下形式：
$u(t,x)=\sum_{i=1}^nv(t_i+t-p_ix)$
其中$n$爲同向軸個數，$t_i$爲初至，$p_i$爲斜率,$v$爲地震子波。在兩側分別對時間進行傅里葉變換，根據傅里葉變換的性質：
$F(f(x-a))=e^{-ia\omega}F(f(x))$
得到（注意，上標$i$表示虛數單位，下標$i$表示索引）：
$\hat u(\omega,x)=\sum_{i=1}^n\hat v(\omega)e^{i(t_i-p_ix)\omega}$

簡化情況

對於簡單的情況，同向軸只有一條，並且經過原點，上式可以簡化爲：
$\hat u(\omega,x)=\hat v(\omega)e^{-ipx\omega}$
在$x$方向上進行離散化，$x=n\Delta x$，得到：
$\hat u(\omega,i\Delta x)=\hat v(\omega)e^{-ipn\Delta x \omega}$
令$U_i=\hat u(\omega,i\Delta x)$，$K=e^{-ip\Delta x\omega}$則：
$U_i=U_{i-1}K$
則頻率切片的自迴歸形式爲：
$U_i-KU_{i-1}=0$
將所有關係式寫到一起，形成一個線性方程組，然後通過最小二乘方法可以得到對所有$i$最優的$K$（注意$p$最開始是未知的，$K$也是未知的，所以需要通過最小二乘來求）。得到$K$之後，爲了實現去噪，雖然自迴歸濾波器的長度爲2，但我們可以利用更多的相鄰到來實現疊加去噪，即：
$U_i=\frac 1 m \sum_{j=i-m}^{j=i-1}K^jU_{j}$

含噪情況

事實上，由於數據中含有噪聲，$U_i=U_{i-1}K$並不嚴格成立，此時可以利用更多的相鄰道實現更長（長度爲$m$）的自迴歸濾波器：
$U_i=\sum_{j=i-m}^{j=i-1}K_jU_{j}$
同理，可以根據最小二乘法求取$K_j$，得到$K_j$之後再利用相同的公式進行自迴歸去噪，即$f-x$反捲積的一般形式。

反推一般情形

此部分推導相對複雜一些，之前一直沒整明白，這次寫文檔算是整明白了。假設數據中含有多個線性同向軸（並且都通過原點$t_i=0$），則頻率域的關係式爲：
$\hat u(\omega,k\Delta x)=\hat v(\omega)\sum_{j=1}^ne^{-ip_jk\Delta x \omega}$
令$U_k=\hat u(\omega,k\Delta x)$，$K_j=e^{-ip_j\Delta x\omega}$，$V=\hat v(\omega)$則：
$U_k=V(\sum_{j=1}^n K_j^k)$
需要證明在$p_j$任意取值的時候，$U_k,U_{k+1},...,U_{k+n-1}$線性相關。首先假設它們線性相關，即下面方程存在解：
$\sum_{j=k}^{k+n-1}a_{j-k}U_j=0$
將$U_j$帶入可以得到：
$\sum_{j=k}^{k+n-1}a_{j-k} \sum_{i=1}^n K_i^j=0$
由於對於任意$p_j$成立，即對任意$K_j$成立，因此我們按$K$對上式進行整理。由於後面的求和下標與$j$無關，所以可以把$a_j$放進去，得到：
$\sum_{j=k}^{k+n-1}\sum_{i=1}^n a_{j-k} K_i^j=0$
兩組求和下標之間也沒有關係，因此求和可以交換順序：
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=k}^{k+n-1}\ a_{j-k} K_i^j=0$
由於上式對於任意$K_i$成立，所以令（對於所有$i$）：
$\sum_{j=k}^{k+n-1}\ a_{j-k} K_i^j=0$
兩邊再除以$K_i^k$得到：
$\sum_{j=0}^{n-1}\ a_j K_i^j=0$
可以得到一個具有$n$個未知數的方程，對於所有的$i$，共有$n$個方程，因此可以解出來$a_j$。
此時可知$U_k$是線性自迴歸的，並且迴歸係數與$p_i$有關。解出來迴歸係數之後，可以通過某一道與相鄰道之間的線性迴歸關係來進行去噪。

同$n=1$的情況類似，在含有噪聲的情況下，我們通常會選擇更長的自迴歸濾波器，以達到更好的去噪效果。

$n=2$時的特例

$n=2$時的方程組爲：
$\begin{aligned} a_0+a_1K_1+K_1^2=&0\\ a_0+a_1K_2+K_2^2=&0 \end{aligned}$
可以得到：
$\begin{aligned} a_0&=K_1K_2 \\ a_1&=-K_1-K_2 \end{aligned}$

初至、通解

對於加入初至的情況，直接令$K_j=e^{i(t_j-p_j\Delta x)\omega}$即可。

一般情況也存在通解，只不過表達式比較複雜，並且並沒有在算法中使用，所以就不推導了。

算法

基本算法是：

1. 將地震數據變換到$f-x$域；
2. 提取某一頻率切片數據進行自迴歸表示（需要設定長度），求取自迴歸係數；
3. 利用求得的自迴歸係數對頻率切片進行自迴歸；
4. 對每一頻率切片重複2-3；
5. 將數據變回到$t-x$域。

如果數據非線性很強，需要分窗口處理。

代碼

代碼源自SeismicLab工具包，fx_decon程序，只摘錄其核心部分。

  aux_in  = DATA_FX(k,:)'; %提取一個頻率切片
  [aux_out_f,aux_out_b] = ar_modeling(aux_in,lf,mu); %自迴歸函數，lf爲迴歸濾波器長度，mu應該是最二乘添加的約束項權重。

ar_modeling的核心代碼爲：

% backward ar-modeling 此部分爲向後ar迴歸，同時可以再次進行向前ar迴歸，將兩次結果作平均作爲最後結果。

   y  = x(1:nx-lf,1);    %輸出
   C  = x(2:nx-lf+1,1);  
   R  = x(nx-lf+1:nx,1);
   M = hankel(C,R);      %輸入，M*ab=y結構如下
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   x_2          x_3 ...         x_lf+1      a_1     x_1
   x_3          x_4 ...         x_lf+2  *   a_2  =  x_2
   ...  
   x_nx-lf+1    x_nx-lf+2 ...   x_nx        a_lf    x_nx-lf
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   B = M'*M;  beta = B(1,1)*mu/100;     %兩邊同時乘以M'，M'*M*ab=M'*y
   ab = (B + beta*eye(lf))\M'*y;        %ab=(M'M+mu*I)^-1*M'y 加入權重
   yb = M*ab;                           %重新做濾波得到去噪後數據

總結

在分析多線性同向軸的自迴歸模型是所用理論雖不困難，但也需要一些技巧，通過分別將含有$K_j^i$（對任意$i$）的項組合然後分別另其爲零即可推導出自迴歸性質。這篇短文給出了所有的推導細節，作爲之後的理論基礎，在Spitz $f-x$插值（據作者所知，去噪稱爲$f-x$反褶（卷）積，插值稱爲$f-x$預測濾波，因爲包含一步預測）、MSSA、降秩方法中都用到類似的推導。