Sea題解（計數+DP）

題意

求$n$個點，不超過$k$條割邊的有標號圖個數。$1\le n\le50,0\le k\le50$

題解

調得懷疑人生了，總算A了。。。

設$n$個點的圖個數爲$e_n$，$n$個點連通圖個數爲$l_n$，$n$個點強連通圖個數爲$g_n$，$n$個點$k$條割邊的連通圖個數爲$f_{n,k}$，則答案可以由$f$數組求出。

顯然有
$e_n=2^{\frac{n(n-1)}2}\\ l_n=e_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i-1}e_{n-i}l_i$
求$g_n$需要一個輔助數組$G_{k,n}$，代表有$k$個點，把另外$n$個點劃分成一些連通塊，每個連通塊向這$k$個點連邊的方案數，

則
$G_{k,n}=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}l_i\times ik\times G_{k,n-i}\\ g_n=l_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i-1}g_iG_{i,n-i}$
求$f_{n,k}$需要一個輔助數組$F_{k,j,i}$，代表有$k+i$個點，可以在$i$個點之間連邊或者把它們和剩下$k$個點連邊，有$j$條割邊的方案數，

則
$f_{i,j}=\sum_{k=1}^{i-1}{i-1\choose k-1}g_kF_{k,j,i-k}\\ F_{k,j,i}=\sum_{I=0}^i\sum_{J=0}^{j-1}{i-1\choose I-1}f_{I,J}\times kI\times F_{k,j-J-i,i-I}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define IN inline
#define R register int
const int N=55;
const ll p=1000000007;
int n,k;
ll e[N],c[N][N],l[N],g[N],G[N][N],f[N][N],F[N][N][N],ans[N][N],S;
IN ll add(ll a,ll b){return a+b<p?a+b:a+b-p;}
IN ll sub(ll a,ll b){return a-b<0?a-b+p:a-b;}
IN ll mul(ll a,ll b){return a*b%p;}
IN ll expo(ll a,int b){
	static ll c;c=1;
	while(b){
		if(b&1)c=c*a%p;
		b>>=1; a=a*a%p;
	}
	return c;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(R i=1;i<=n;i++)e[i]=expo(2,(i*(i-1))>>1);
	for(R i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
	for(R i=1;i<=n;i++)for(R j=1;j<=i;j++)c[i][j]=add(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
	for(R i=1;i<=n;i++){
		l[i]=e[i];
		for(R j=1;j<i;j++)l[i]=sub(l[i],mul(mul(c[i-1][j-1],e[i-j]),l[j]));
	}
	for(R k=1;k<=n;k++)G[k][0]=1;
	for(R k=1;k<=n;k++)for(R i=1;i<=n-k;i++)for(R j=1;j<=i;j++)
		G[k][i]=add(G[k][i],mul(mul(c[i-1][j-1],j*k),mul(l[j],G[k][i-j])));
	g[0]=1;
	for(R i=1;i<=n;i++){
		g[i]=l[i];
		for(R j=1;j<i;j++)g[i]=sub(g[i],mul(mul(c[i-1][j-1],G[j][i-j]),g[j]));
	}
	for(R i=1;i<=n;i++)F[i][0][0]=1;
	for(R i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=g[i];
		for(R j=1;j<i;j++)for(R k=1;k<i;k++)
			f[i][j]=add(f[i][j],mul(mul(c[i-1][k-1],g[k]),F[k][j][i-k]));
		for(R k=1;k<=n-i;k++)for(R j=0;j<i+k;j++)
			for(R I=1;I<=i;I++)for(R J=0;J<j;J++)
				F[k][j][i]=add(F[k][j][i],mul(mul( c[i-1][I-1],mul(f[I][J],k*I) ),F[k][j-J-1][i-I]));
	}
	ans[0][0]=1;
	for(R i=1;i<=n;i++)for(R j=0;j<=i;j++)
		for(R I=1;I<=i;I++)for(R J=0;J<=j;J++)ans[i][j]=add(ans[i][j],mul(c[i-1][I-1],mul(f[I][J],ans[i-I][j-J])));
	for(R i=0;i<=k;i++)S=add(S,ans[n][i]);
	printf("%lld",S);
	return 0;
}