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矩陣分解
矩陣分解確實可以解決一些近鄰模型無法解決的問題，近鄰模型存在的問題：1、物品之間存在相關性，信息量並不是隨着向量維度增加而線性增加 2、矩陣元素稀疏，計算結果不穩定，增減一個向量維度，導致緊鄰結果差異很大的情況出現。
矩陣分解就是把原來的大矩陣，近似的分解成小矩陣的乘積，在實際推薦計算時不再使用大矩陣，而是使用分解得到的兩個小矩陣。
具體來說就是，假設用戶物品的評分矩陣A是m乘n維，即一共有m個用戶，n個物品.通過一套算法轉化爲兩個矩陣U和V,矩陣U的維度是m乘k，矩陣V的維度是n乘k。
這兩個矩陣的要求就是通過下面這個公式可以復原矩陣A:
類似這樣的計算過程就是矩陣分解，還有一個更常見的名字SVD，但是SVD和矩陣分解不能劃等號，因爲除了SVD還有一些別的矩陣分解方法。
矩陣分解的不足
矩陣分解本質上都是在預測用戶對一個物品的偏好程度，哪怕不是預測評分，只是預測隱式反饋，也難逃這一個事實。
得到這樣的矩陣分解結果後，常常在實際使用時，又是用這個預測結果來排序。所以，從業者們稱想要模型的預測誤差最小化，結果繞了一大圈最後還是隻想要一個好點的排序。
這種針對單個用戶對單個物品的偏好程度進行預測，得到結果後再排序的問題，在排序學習中的行話叫做point-wise,其中point意思就是：只單獨考慮每個物品，每個物品像是空間中孤立的點一樣，與之相對的，還有直接預測物品兩兩之間相對順序的問題，就叫做pair－wise。
之前說的矩陣分解都屬於point-wise模型。這類模型存在的問題是隻能收集到正樣本，沒有負樣本，於是認爲缺失值就是負樣本，再以預測誤差爲評判標準去使勁逼近這些樣本。逼近正樣本沒問題，但是同時逼近的負樣本只是缺失值而已，還不知道真正呈現在用戶面前，到底是不喜歡還是喜歡呢？雖然這些模型採取了一些措施來規避這個問題，比如負樣本採樣，但是尷尬還是存在的，爲了排序而繞路也是事實。
更直接的推薦模型應該是：能夠較好地爲用戶排列出更好的物品相對順序，而非更精確的評分。
針對以上問題提出的方法是：貝葉斯個性化排序，簡稱BPR模型。
貝葉斯個性化排序(BRP模型)
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