從MAP-MRF到Grab Cut(1/3): MAP-MRF

介紹

綜述

我將會用三篇博客來同大家討論Graph Cut技術在圖像分割上的應用，歡迎各位在評論中留言討論。
這三篇內容分別是
(TODO list)

• MAP-MRF
• Max-flow/Min-cut
• Grab-cut

這三篇文章先是從estimation theory的角度討論MAP-MRF從而可以引出：通過求一個能量函數的最小化來解決圖像分割問題。這也就等同於 Max-flow/Min-cut問題，最後Max-flow的“升級版”是Grab-cut
在本篇中我將討論MAP-MRF，目的是理解了MAP-MRF會幫助我們理解Max-flow。

圖像分割及其應用方向

作爲系列博文的第一篇，我感覺有必要先提及一下什麼是圖像分割。顧名思義，我們利用模型將一張圖片分成幾個子區域，每個區域內的像素屬於同一個類別，這要求子區域內像素具有相同的特徵。現如今，主要流行的方法是CNN那一支，但是傳統的方法依舊具有很好的潛力。現在，CNN上空浮現着一層陰影那就是我們對於一個特定的網絡，很難回答在訓練過程中究竟發生了什麼。而且CNN對超參很敏感，需要不斷的實驗來得到一個理想的結果。

而通過回顧傳統的方法，可以加深對CNN的理解，也是本篇寫作的出發點，因此我在此討論的更多是公式和思想，代碼實現不在此文範圍內（請查看opencv源碼，如果有需要的話）。

應用方向有很多，比如醫學中，可以用圖像分割來處理x光CT掃描照片，也可以用來做細胞分割等等。在生活場景中可以用來做物品識別。影視行業拿來做摳圖也是可以的，等等。而需要強調的是，凡是具有圖片性質的數據，都可以用圖像分割的技術來幫助分類與定位。

MAP-MRF簡介

MAP-MRF是Maximum a posteriori Markov random fields的縮寫。中文名應該是最大化後驗馬可夫隨機場。MAP-MRF有很廣泛的應用，而在圖像處理領域中，它可以用來做圖像分割。在本文中我們可以看到，MAP-MRF等同於求能量方程的最小值。

MAP-MRF詳情

下文基於**二元圖像分割(binary segmentation)**進行討論

定義

在一個圖片中我們先定義一個集合$P = \{p_1, p_2, ..., p_m\}$, 用來表示每一個像素。

我們用集合$L = \{l_1, l_2, ..., l_L\}$來表示每一個像素所隸屬的類別，在二元圖像分割中$L = \{0,1\}$. 0對應背景，1對應前
景。

接着我們定義一個場$F = \{f_p | p\in P\}$, $f_p \in L$
這裏的$f$也叫做場$F$的配置(configuration)
既然是馬可夫場我們還需要定義一個領域系統$N = \{N_p|p \in P\}$. $N_p$ 就是像素$p$的領域。

$F$ 是馬可夫隨機場 當且僅當

• $P_r(F=f) \geq 0, \forall f \in F$
• $P_r(F_p = f_p | F_{P-p} = f_{P-p}) = P_r(F_s = f_s | F_{N_p} = f_{N_p})$ 這也意味着$f_p$的值只取決於領域內的$f_p$的值。

通過Harmmersley-cllifford定理

我們可以知道吧MRF轉化成Gibbs 分佈,從而可以得到如下公式
$P_r(f) \propto exp(-\sum_{c}V_c(f))$ (1)

其中c是clique的意思，在圖像處理中這個c等同於我們定義的N。$V_c$是clique potential, 其實就是一個用來描述區域內像素關係的量。所以在圖像處理這一塊我們可以用鄰域系統$N$來描述clique, 如下的公式：
$P_r(f) \propto exp(-\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q))$ (2)

• 其中V_{p,q}是用來衡量兩個相鄰像素間的相似程度的函數，隨便你怎麼設計。但是通常要求：
  • 非負
  • 值的大小於像素間的相似性成正比，於Euclidean距離成反比。

圖像分割問題就是我觀察到一個圖像記作集合$O$，它包含了每一個像素觀測到的值。我需要估算的是$P_r(f|O)$ 這麼一個likelihood。
根據Bayes’ Law我們可以寫出：
$P_r(f|O) \propto P_r(O|f)P_r(f)$ (3)

其中$P_r(f)$已經在**(2)**中給出了，而$P_r(O|f) = \prod_{p \in P} P_r(O_p|f_p)$是數據分佈情況，是實現知道的。比較簡單的是建立一個直方圖的來獲取它。

那麼這個 MAP 的過程可以寫成對於f：
- $argmax P_r(f|O)P_r(f)$
- $argmax\prod_{p \in P}P_r(O_p|f_p)exp\{-\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)\}$
- $argmax\sum_{p \in P}ln(P_r(O_p|f)) -\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)$
- $argmin - \sum_{p \in P}ln(P_r(O_p|f)) + \sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)$

可以看到MAP-MRF 最終可以表示爲求能量方程最小值的問題。 這是一個NP-hard問題，於是就有了很多種的圖割算法來算近似解以提高效率。下一篇博文我將介紹什麼是Max-flow/Min-cut