座標系幾何

直角座標(Cartesian)，柱座標(Cylindrical)，球座標(Spherical)之間的變換的結果非常容易在網上找到，但是推到過程不是那麼的完善，在這裏記錄一下。它們三者都是歐氏幾何右手座標系。

直角座標系

柱座標系

球座標系
我們利用三角幾何可以很輕鬆的得到數值上的關係：

$x = \rho cos(\phi) = rsin\theta cos\phi$
$y = sin\phi = rsin\theta sin\phi$
$z=rcos\theta$

$\rho = \sqrt[]{x^2+y^2} = rsin\theta$
$\phi = tan^{-1}(y/x)$
$z = rcos\theta$

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{\rho ^2 + z^2}$
$\theta = tan^{-1} \frac{ \sqrt[]{x^2+y^2}}{z} = tan^{-1}(\rho/z)$
$\phi = tan^{-1}(y/x)$

單位向量變換

涉及到向量之後，座標系變換就變得有點複雜。我們有時候需要將寫在三種不同的座標系下的向量相互變換。本文的重點也是在討論這些變換矩陣是怎麼來的。我們把座標系單位向量寫成 $(\mathbf{a_x, a_y, a_z})$ ， $(\mathbf{a_\rho, a_\phi, a_z})$ ， $(\mathbf{a_r, a_\theta, a_\phi})$

直角座標與柱座標

因爲直角座標與柱座標之間共享z,所以我們不用考慮z的改變，我們畫出上圖。然後加點輔助線，如下圖所示：

現在就可以很輕鬆的寫出

$\mathbf{a_\rho} = \mathbf{a_x}cos\phi + \mathbf{a_y}sin\phi + \mathbf{a_z}0$
$\mathbf{a_\phi} = \mathbf{a_x}(-sin\phi) + \mathbf{a_y}cos\phi + \mathbf{a_z}0$
$\mathbf{a_\rho} = \mathbf{a_x}0 + \mathbf{a_y}0 + \mathbf{a_z}1$