从MAP-MRF到Grab Cut(1/3): MAP-MRF

介绍

综述

我将会用三篇博客来同大家讨论Graph Cut技术在图像分割上的应用，欢迎各位在评论中留言讨论。
这三篇内容分别是
(TODO list)

• MAP-MRF
• Max-flow/Min-cut
• Grab-cut

这三篇文章先是从estimation theory的角度讨论MAP-MRF从而可以引出：通过求一个能量函数的最小化来解决图像分割问题。这也就等同于 Max-flow/Min-cut问题，最后Max-flow的“升级版”是Grab-cut
在本篇中我将讨论MAP-MRF，目的是理解了MAP-MRF会帮助我们理解Max-flow。

图像分割及其应用方向

作为系列博文的第一篇，我感觉有必要先提及一下什么是图像分割。顾名思义，我们利用模型将一张图片分成几个子区域，每个区域内的像素属于同一个类别，这要求子区域内像素具有相同的特征。现如今，主要流行的方法是CNN那一支，但是传统的方法依旧具有很好的潜力。现在，CNN上空浮现着一层阴影那就是我们对于一个特定的网络，很难回答在训练过程中究竟发生了什么。而且CNN对超参很敏感，需要不断的实验来得到一个理想的结果。

而通过回顾传统的方法，可以加深对CNN的理解，也是本篇写作的出发点，因此我在此讨论的更多是公式和思想，代码实现不在此文范围内（请查看opencv源码，如果有需要的话）。

应用方向有很多，比如医学中，可以用图像分割来处理x光CT扫描照片，也可以用来做细胞分割等等。在生活场景中可以用来做物品识别。影视行业拿来做抠图也是可以的，等等。而需要强调的是，凡是具有图片性质的数据，都可以用图像分割的技术来帮助分类与定位。

MAP-MRF简介

MAP-MRF是Maximum a posteriori Markov random fields的缩写。中文名应该是最大化后验马可夫随机场。MAP-MRF有很广泛的应用，而在图像处理领域中，它可以用来做图像分割。在本文中我们可以看到，MAP-MRF等同于求能量方程的最小值。

MAP-MRF详情

下文基于**二元图像分割(binary segmentation)**进行讨论

定义

在一个图片中我们先定义一个集合$P = \{p_1, p_2, ..., p_m\}$, 用来表示每一个像素。

我们用集合$L = \{l_1, l_2, ..., l_L\}$来表示每一个像素所隶属的类别，在二元图像分割中$L = \{0,1\}$. 0对应背景，1对应前
景。

接着我们定义一个场$F = \{f_p | p\in P\}$, $f_p \in L$
这里的$f$也叫做场$F$的配置(configuration)
既然是马可夫场我们还需要定义一个领域系统$N = \{N_p|p \in P\}$. $N_p$ 就是像素$p$的领域。

$F$ 是马可夫随机场 当且仅当

• $P_r(F=f) \geq 0, \forall f \in F$
• $P_r(F_p = f_p | F_{P-p} = f_{P-p}) = P_r(F_s = f_s | F_{N_p} = f_{N_p})$ 这也意味着$f_p$的值只取决于领域内的$f_p$的值。

通过Harmmersley-cllifford定理

我们可以知道吧MRF转化成Gibbs 分布,从而可以得到如下公式
$P_r(f) \propto exp(-\sum_{c}V_c(f))$ (1)

其中c是clique的意思，在图像处理中这个c等同于我们定义的N。$V_c$是clique potential, 其实就是一个用来描述区域内像素关系的量。所以在图像处理这一块我们可以用邻域系统$N$来描述clique, 如下的公式：
$P_r(f) \propto exp(-\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q))$ (2)

• 其中V_{p,q}是用来衡量两个相邻像素间的相似程度的函数，随便你怎么设计。但是通常要求：
  • 非负
  • 值的大小于像素间的相似性成正比，于Euclidean距离成反比。

图像分割问题就是我观察到一个图像记作集合$O$，它包含了每一个像素观测到的值。我需要估算的是$P_r(f|O)$ 这么一个likelihood。
根据Bayes’ Law我们可以写出：
$P_r(f|O) \propto P_r(O|f)P_r(f)$ (3)

其中$P_r(f)$已经在**(2)**中给出了，而$P_r(O|f) = \prod_{p \in P} P_r(O_p|f_p)$是数据分布情况，是实现知道的。比较简单的是建立一个直方图的来获取它。

那么这个 MAP 的过程可以写成对于f：
- $argmax P_r(f|O)P_r(f)$
- $argmax\prod_{p \in P}P_r(O_p|f_p)exp\{-\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)\}$
- $argmax\sum_{p \in P}ln(P_r(O_p|f)) -\sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)$
- $argmin - \sum_{p \in P}ln(P_r(O_p|f)) + \sum_{p \in P} \sum_{q \in N_p} V_{p,q}(f_p, f_q)$

可以看到MAP-MRF 最终可以表示为求能量方程最小值的问题。 这是一个NP-hard问题，于是就有了很多种的图割算法来算近似解以提高效率。下一篇博文我将介绍什么是Max-flow/Min-cut