分治法學習總結
分治法是我們經常用到的算法，合理利用分治算法可以使我們更好的解決問題。我們在使用二分查找、歸併排序的時候都要用到分治算法。下面我將從三個方面介紹分治算法，方便我們更好的瞭解和學習分治算法。
1.分治算法介紹
2.分治算法應用分析
3.分治算法例題分析
1.分治算法介紹
1.基本概念
分治算法的基本思想是將一個規模爲N的問題分解爲K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。
2.解題思路
1、原問題可以分解爲多個子問題
這些子問題與原問題相比，只是問題的規模有所降低，其結構和求解方法與原問題相同或相似。
2、原問題在分解過程中，遞歸地求解子問題
由於遞歸都必須有一個終止條件，因此，當分解後的子問題規模足夠小時，應能夠直接求解。
3、在求解並得到各個子問題的解後
應能夠採用某種方式、方法合併或構造出原問題的解。
不難發現，在分治策略中，由於子問題與原問題在結構和解法上的相似性，用分治方法解決的問題，大都採用了遞歸的形式。在各種排序方法中，如歸併排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想 。
2.分治算法應用分析
先讓我們通過一個簡單的二分查找來理解分治算法的基本思路。
public static int commonBinarySearch(int[] arr,int key){
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
int middle = 0; //定義middle
if(key < arr[low] || key > arr[high] || low > high){
return -1;
}
while(low <= high){
middle = (low + high) / 2;
if(arr[middle] > key){
//比關鍵字大則關鍵字在左區域
high = middle - 1;
}else if(arr[middle] < key){
//比關鍵字小則關鍵字在右區域
low = middle + 1;
}else{
return middle;
}
}
return -1; //最後仍然沒有找到，則返回-1
}
首先先在排序的數組找到中間值，定義我們的中間值，找到就返回，找不到就在符合條件的子問題繼續二分，直到滿足邊界條件退出循環。
1.歸併排序
歸併排序（MERGE-SORT）是利用歸併的思想實現的排序方法，該算法採用經典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法將問題分(divide)成一些小的問題然後遞歸求解，而治(conquer)的階段則將分的階段得到的各答案"修補"在一起，即分而治之)。
第一, 分解: 把待排序的 n 個元素的序列分解成兩個子序列, 每個子序列包括 n/2 個元素.
第二, 治理: 對每個子序列分別調用歸併排序MergeSort, 進行遞歸操作
第三, 合併: 合併兩個排好序的子序列,生成排序結果.
public static int[] sort(int[] a,int low,int high){
int mid = (low+high)/2;
if(low<high){
sort(a,low,mid);
sort(a,mid+1,high);
//左右歸併
merge(a,low,mid,high);
}
return a;
}
public static void merge(int[] a, int low, int mid, int high) {
int[] temp = new int[high-low+1];
int i= low;
int j = mid+1;
int k=0;
// 把較小的數先移到新數組中
while(i<=mid && j<=high){
if(a[i]<a[j]){
temp[k++] = a[i++];
}else{
temp[k++] = a[j++];
}
}
// 把左邊剩餘的數移入數組
while(i<=mid){
temp[k++] = a[i++];
}
// 把右邊邊剩餘的數移入數組
while(j<=high){
temp[k++] = a[j++];
}
// 把新數組中的數覆蓋nums數組
for(int x=0;x<temp.length;x++){
a[x+low] = temp[x];
}
}
2.快速排序
給定數組int[]a={7,5,3,2,9,10,8,4,6,1};
第1步：找基準值
所謂的基準值，顧名思義就是以它爲基準進行比大小。通常來說，我們選取數組的第一個數爲基準值。在數組a裏基準值就是7.
第2步：比大小
先從數組的最右邊開始往左邊找比基準值小的第一個數，然後從數組的最左邊開始往右找比基準值大的第一個數。那麼爲什麼要這麼找呢？因爲現在我們要把數組從小到大排序，所以要找出比基準值小的數放到基準值的左邊，找出比基準值的數放在基準值的右邊。
那麼在數組a裏，從左往右找，第一個比7大的數就是9，我們把它的座標記爲i；從右往左找，第一個比7小的數就是1，我們把它的座標記爲j。
第3步：交換
找到之後，如果這個時候i<j，那麼就交換這兩個數，因爲i=4,j=9，符合條件，將9和1進行交換。現在數組變成了int[]a={7,5,3,2,1,10,8,4,6,9};
如果j>=i，那麼不做處理
爲什麼還要判斷i和j的大小呢？就像第二步說的，我們要找出比基準值小的數放到基準值的左邊，找出比基準值的數放在基準值的右邊。所以如果i<j的話，交換就達到目的了，如果i>=j，比基準值小的數就在基準值的左邊，比基準值大的數已經在基準值的右邊了，這時候就沒必要交換了。
第4步：繼續查找
在i<j的前提下，繼續向右查找比基準值大的數，往左找比基準值小的數，然後交換。
在我們的例子中，10和6、8和4都符合交換的條件，所以數組就變成了
int[]a={7,5,3,2,1,6,4,8,10,9};這時候i=6,j=7
第5步：交換基準值到合適的位置
當查找繼續進行，這時候i=j=6，已經不滿足繼續查找和交換的條件了，那麼我們應該怎麼辦呢？答案就是把a[6]和基準值交換，因爲i=j的時候說明已經到了一個分界線的位置，分界線左邊的數比基準值小，分界線右邊的數比基準值大，而這個分界線就是我們的基準值，所以把它和a[i]交換，這時候數組就變成：
int[]a={4,5,3,2,1,6,7,8,10,9};
第6步：重複
對基準值左右兩邊的兩個子數組重複前面五個步驟直至排序完成。