題目的具體描述：
一個整數N，他可能等於比它小的若干個整數（大於2）相加。如果存在這樣的連續整數，將他們輸出，如果沒有則不輸出。
例： 整數18，18=5+6+7=3+4+5+6。所以輸出[5 6 7],[3 4 5 6]。
這是一個公司給出的筆試編程題，當時我沒做出來，當時一直在想總結規律，寫出效率很高的代碼，結果最後連一個可行方案都寫出來。值得反思，當時時間有限，應該先寫一個可行方案，在去考慮優化的，當時沒有編譯器進行調試，也不好測試優化的結果。
後面花了兩個小時，終於把優化後的算法寫出來了。沒有網上查資料，完全自己思考，因爲題目本身並不難。
public class ArithmeticSquence {
public static void main(String args[]){
long startTime = System.currentTimeMillis();//獲取當前時間
arithmetic_squence(100000000);
long endTime = System.currentTimeMillis();//獲取當前時間
System.out.println("程序運行時間："+(endTime-startTime)+"ms");
}
public static void arithmetic_squence(int n){
int comma=0;//用來作爲記錄有多少組連續整數，也用來在輸出連續整數時添加逗號的標記
for(int i=2;i<=n/2+1;i++){//i表示該整數由i個連續整數相加
int value=n/i-i/2;//當該整數由i個連續整數相加時，這些連續整數的最小值的表達式（不是特別精確）
if (value<0)//當計算到value<0時，說明此時已經到邊緣了，不能再有其他組合了
break;
else if(value<1)//0<=value<1時，這時候剛好到邊緣，是最後有可能的組合
value=1;
for(int j=value;j<=n/i+1;j++){//在可能的範圍內循環判斷可能出現的組合
int temp=(j+j+i-1)*i/2;//等差數列，首相加末項乘以項數除以2
if(temp>n)//如果大於0，那就說明這裏的組合不可能滿足要求了
break;
else if(temp==n){//成功找到連續整數
//註釋部分是爲了在控制檯輸出連續整數
// if(comma!=0)
// System.out.print(",");
//
// System.out.print("[");
//
// for(int k=0;k<i;k++){
// if(k!=0)
// System.out.print(" ");
// System.out.print(j+k);
// }
// System.out.print("]");
comma++;//記錄有多少組連續整數組合
break;
}
}
}
System.out.println(comma);
}
}
對於整個算法的嚴整型，我只驗算了前20個數字，我也不會去證明，如果有bug，請指出。
說說整個思路
1、連續整數，就可以理解爲公差爲1的等差數列。然後用求和公式去驗證。
2、對於整數N，假如它等於兩個連續整數相加，那麼這兩個整數，是不是就是N/2附近的兩個數，這個好理解把。那麼如果等於3個連續整數相加，那麼是不是就是N/3附近的三個數。如果它等於N/2（向下取整，java裏默認是這樣的）個整數相加時，那麼N/（N/2）=2，也就是2附近的數，那2附近的數其實就是1和3，也就是說，N=N/2個整數相加已經是一種極限的了（我自己理解的，至於有沒有特例，不敢肯定）。
所以第一個for循環裏i的判斷條件就可以求得，再加1是因爲java裏對int型整除是默認向下取整的，並不是四捨五入，爲保證不漏掉極限的那種情況，就加一個1。
3、第二個for循環，舉個例子理解。對於整數N=18，假設由兩個連續整數相加，那麼就是18/2=9，9周圍有兩種組合，8+9=17<18,9+10=19>18。所以18不能由兩個連續整數相加，假設由3個整數相加，18/3=6，那麼取6附近的數有4，5，6，7，8。4+5+6=15，5+6+7=18，6+7+8=21。其實這裏你就可以看到，當一個整數N等於其他n個連續整數相加時，它一定是由N/n附近的整數組成，而且應該一定包含N/n（取整）這個整數（沒有證明過，所以不敢說肯定），並且至少包含這個整數左邊或者右邊的一位數。所以int value=n/i-i/2，value就是這樣得來的（這裏更縮小爲i/2，覺得有問題可以改成value=n/i-i+1,並且注意這裏的n不等於括號外面那個n，而是等於N），並且value取的是可能範圍裏最小的那個數，然後從最小值一直往上加n個數，看看是否會等於N，如果某個時候相加已經大於N了，那麼說明不存在n個連續整數相加等於N。
4、if (value<0) break;代碼裏有這麼兩行，這兩行提高了整個代碼很多的效率。可以去掉這裏，僅保留if(value<1) value=1試試，效率完全不在一個等級。因爲此時假設整數N等於i個連續整數相加，而這時候可能範圍的最小值已經小於0< N/i<1了，此時還是可以滿足包含N/i這個整數並且至少包含它左邊或者右邊的一個整數（此時只能選右邊）。那麼如果N等於i+1個連續整數相加時，value的值只會更小，而且i+1>3,其實這時候必須包含N/i左邊以及右邊的兩個整數，那麼顯然不可能滿足了（這裏0不能算）。
主要的優化思路就在上面了。再說明一次，上面算法只經過實踐證明，沒有嚴格的理論證明，不敢保證一定沒有bug。
對於整數100000000（一億），有8個連續整數組合相加等於它，只需要5ms（不輸出到控制檯，和機器有關，我電腦配置很一般，約3500元的組裝機）。首先，數字越大，需要循環的次數也就越多，一億已經夠大了，5ms這個效率，應該可以接受了吧。
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一下內容是網上查資料學習到的：
對於int value=n/i-i/2。
假設一個整數可以由連續整數相加求得。那麼有N=（value+value+i-1）*i/2（value代表連續整數中最小的那個），那麼value=N/i-(i-1)/2,這個value的公式會更嚴謹，所以上面也改成這個更好。
改進後代碼
public class test2 {
public static void main(String args[]){
long startTime = System.currentTimeMillis();//獲取當前時間
arithmetic_squence(20);
long endTime = System.currentTimeMillis();//獲取當前時間
System.out.println("程序運行時間："+(endTime-startTime)+"ms");
}
public static void arithmetic_squence(int n){
int comma=0;//用來作爲記錄有多少組連續整數，也用來在輸出連續整數時添加逗號的標記
for(int i=2;i<=n/2+1;i++){//i表示該整數由i個連續整數相加
int value=n/i-(i-1)/2;//當該整數由i個連續整數相加時，這些連續整數的最小值的表達式
if(value<1)//最小取1
break;
int temp=(value+value+i-1)*i/2;//等差數列，首相加末項乘以項數除以2
if(temp==n){//成功找到連續整數
//註釋部分是爲了在控制檯輸出連續整數
// if(comma!=0)
// System.out.print(",");
//
// System.out.print("[");
//
// for(int k=0;k<i;k++){
// if(k!=0)
// System.out.print(" ");
// System.out.print(value+k);
// }
// System.out.print("]");
comma++;//記錄有多少組連續整數組
}
}
System.out.println(comma);
}
}果然，算法優化無止盡。