注：本博客是基於奧本海姆《離散時間信號處理》第三版編寫，主要是爲了自己學習的複習與加深。
一、，模擬信號的數字處理
1、在實際裝置中，連續時間信號不是真正帶限的，理想濾波器也不能實現，理想的C/D和D/C轉換器也僅僅是能夠近似的，這些都是分別由模擬到數字（A/D）和數字到模擬（D/A）的轉換器來近似完成的。圖4.1（b）示出了處理連續時間（模擬）信號數字較爲現實的模型。
圖4.1
一）、消除混疊的預濾波
1、在很多情況下，利用離散時間系統處理模擬信號，總是希望使系統的採樣率最低。這時由於實際該系統要求處理運算的量是正比於要處理的樣本數。如果如數信號不是帶限或者輸入信號的奈奎斯評率太高，往往就要用到預濾波。
2、如果想避免混疊，就必須將輸入信號強制限帶到低於所要求的採樣率一半的頻率上這可以在C/D轉換器之前用低通濾波器連續時間信號來完，如圖4.2所示。這種位於C/D轉換器之前的低通濾波器稱爲抗混疊濾波器。
圖4.2
1）、在理想情況下，抗混疊濾波器的頻率響應爲
式4.1
2）、圖4.1所示系統的總有效頻率響應將是|Ω|>π/T和由xa（t）到yr（t）的的有效頻率響應的乘積。聯合式（4.1）和以前所學可得到
式4.2
因此，對於一個理想的抗混疊濾波器來說，即使當He（jΩ）不是帶限的，圖4.2所示的系統仍表現爲一個頻率響應式（4.1）所給出的線性時不變系統。
3）、實際上，頻率響應Haa（jΩ）也並不可能是理想帶限的，但是能夠將Haa（jΩ）在|Ω|>π/T範圍內做的足夠小，以使混疊最小。在這種情況下，圖4.1所示系統的總頻率將近似爲
式4.3
爲了使高於π/T的頻率響應部分小到可以忽略不計，就需要對Haa（jΩ）特性從一開始就採取滾降，也即在大於π/T的頻率上引入衰減，式（4.3）指出抗混疊濾波器的滾降，至少能夠在離散時間系統設計中進行考慮而使之得到部分補償。
3、過採樣A/D轉換抗混疊濾波器
圖4.3
二）、模擬到數字（A/D）轉換
1、對於數字信號處理，作爲一種近似，圖4.4所示的系統把一個連續時間（模擬）信號轉換爲一個數字信號，葉即一個有限精度的序列或量化樣本。
圖4.4
這種轉換不是瞬時的，爲此一個高性能的A/D系統一般都包括一個採樣與保持環節，如圖4.4所示。理想的採樣保持系統的輸出爲：
式4.4
式中
是x0(t)的理想樣本，而h0(t)是零階保持系統的衝激響應，即
式4.5
上式可以等效爲
式4.6
那麼，該理想採樣保持系統就等效爲衝激串調製級聯零階保持系統線性濾波的形式。
2、圖4.4所示的採樣保持系統的目的是要實現理想採樣並保持該樣本值以供A/D轉換器量化，所以可以將圖4.4所示的系統用圖4.5所繫的系統來表示
圖4.5
圖中理想的C/D轉換器表示由採樣保持完成的採樣，而量化器和編解碼器共同代表A/D轉換器的工作。
三）、量化誤差分析
1、一般量化樣本
不同於樣本的真值x[n]。其誤差即爲量化誤差，定義爲
式4.7
2、一種簡化而有用的量化器模型如圖4.6所示。在搞模型中，量化誤差樣本被認爲一種加性噪聲信號。
圖4.6
若一直e[n]是未知的，該模型就完全等效於該量化器。在大多數情況下，e[n]是未知的，這時基於圖4.6的中統計模型就可以用來表示量化效應。
3、量化誤差的統計表示式基於如下假設的：
1）、誤差序列e[n]是不平穩隨機過程的一個樣本序列；
2）、誤差序列與序列x[n]不相關；
3）、誤差過程的隨機變量是不相關的，也就是說，誤差是一個白噪聲過程；
4）、誤差過程的概率分佈在量化誤差範圍內均勻分佈的。
4、對於舍入樣本值到最接近的量化電平的量化器來說，量化噪聲的幅度是在如下範圍內：
式4.8
對於小的△，e[n]是一個在-△/2到△/2範圍內均勻分佈的隨機變量的假設是合理的。因此，對於這種量化噪聲的一階概率密度的假設如圖4.7所示
圖4.7
爲了按成量化噪聲統計模型，嘉定噪聲樣本間是不相關的，且e[n]與x[n]也不相關。這樣e[n]就假設爲一個均勻分佈的白噪聲序列。e[n]的均值爲零，其方差爲
式4.9
對於一個（B+1）位量化器，其滿幅度值爲Xm，噪聲方差或功率爲
式4.10
上式實現了對量化噪聲的白噪聲建模，因此量化噪聲的自相關函數爲
，且相應的功率譜密度爲
式4.11
5、一個信號被一般的加性噪聲和特定的量化噪聲所污損的程度的常量是信號噪聲閉（SNR），定義爲信號方差（功率）對噪聲方差的比。以dB（分貝）表示，一個（B+1）位均勻量化器的信號量化噪聲比爲
式4.12
由上式可見，量化樣本的字長美添加一位，信噪比近似提高6dB，需要特別考慮式4.12中的項
式4.13
首先，Xm是量化器的一個參數，通常在一個世紀系統中是固定的。量
是信號幅度的均方根值，他一定小於信號的峯值幅度。
四）、D/A轉換
1、利用博裏葉變換，理想低通濾波器從一個樣本序列來重構一個帶限信號的過程表示爲
式4.14
始終X(ejw)爲樣本序列的離散時間博裏葉變換，
爲已重構的連續時間信號的博裏葉變換。理想重構濾波器爲
式4.15
對於
式4.16
該系統以序列x[n]爲輸入，產生輸出爲xr(t)，稱爲理想D/C轉換器。
2、對於理想D/C轉換器一個具體可實現的對應系統是一個數字模擬轉換器（D/A轉換器）緊跟着一個近似低通濾波器，如圖4.8所示
圖4.8
一個D/A轉換器將一個二進制代碼自序列
作爲輸入，產生一個如下式所示的連續時間輸出：
式4.17
應該注意到，D.A轉換器以和採樣保持中保持未被量化的輸入樣本同樣的方式在一個樣本週期內保持該量化樣本。如果用加性噪聲模型來表示量化效應，那麼式4.17就變成
式4.18
爲了簡化討論，定義
式4.19
式4.20
這樣，是4.18就可以簡寫成
式4.21
因爲x[n]=xa(nT)，所以信號分量x0(t)就與輸入信號xa(t)有關。式4.19的博裏葉變換爲
式4.22
現在，因爲
式4.23
所以就有
式4.24
如果Xa(jΩ)是帶限到π/T頻率以下，那麼式4.24中的Xa(jΩ)頻移的那些部分就不會重疊。如果定義一個補償的重構濾波器爲
式4.25
若輸入x0(t)，則該濾波器的輸出即爲xa(t)。很容易證明零階保持濾波器的頻率響應爲
式4.26
因此這個補償的重構濾波器爲
式4.27
3、圖4.8所示是一個D/A轉換器緊跟着一個理想補償重構濾波器。
圖4.8
將理想補償重構濾波器接在D/A轉換器後面，則重構的輸出信號爲
式4.28
話句話說，輸出爲
式4.29
4、重新考慮一下圖4.1(b)能夠明白模擬信號數字處理系統的特性了。
1）、如果假設抗混疊濾波器的輸出是帶限到低於π/T頻率以下，
也是類似帶限的，並且離散時間系統是線性時不變的，那麼總的系統輸出就有如下形式
式4.30
這裏
式4.31
式中，Haa(jΩ)、H0(jΩ)和
分別是抗混疊濾波器，D/A轉換器的零階保持和重構低通濾波器的頻率響應。H(ejΩ)是離散時間系統的頻率響應。
2）、類似的，假設由A/D轉換到引入的量化噪聲是方差
的白噪聲，那麼可以證明輸出噪聲的功率譜爲
式4.32
也就是說，輸入量化噪聲收到離散時間和連續時間連續幾級過來而變化。由式4.31可以得出，在量化誤差模型並忽略混疊的假定下，從xc(t)到
總的有效頻率響應應該爲
式4.33
如果抗混疊濾波器是理想的，如式4.1所給出，而重構濾波器的補償也是理想的，如式4.33所給出，那麼有效頻率響應就如式4.2所給出。否則，式4.33就對有效頻率響應提供了一個合理的模型。