注：本博客是基於奧本海姆《離散時間信號處理》第三版編寫，主要是爲了自己學習的複習與加深。
一、最小相位系統
一）、最小相位和全通系統
1、任何有理系統函數都能表示成
式5.1
式中
是最小相位系統，
是全通系統。
1）、
包含H(z)中位於單位圓內的零、極點，再加上H(z)中單位圓外的零點成共軛倒數的那些零點。
2）
由全部H(z)中位於單位圓外的零點和與
中反射過來的共軛倒數零點相抵消的極點組成。
2、利用式5.1可以從一個最小相位系統把其一個或多個位於單位圓內的零點反射到單位圓外與它們成共軛倒數的位置上面形成一個非最小相位系統；或者相反，從一個非最小相位系統把全部位於單位圓外的零點反射到單位圓內與其成共軛倒數的位置上而形成一個最小相位系統。在任意情況下，這個最小相位與非最小相位系統都具有相同的頻率響應幅度。
二）、非最小相位系統的頻率響應補償
1、在很多信號處理範疇內，一個信號已經被某個不合要求的頻率響應德LTI系統所失真，然後可能關心德是要用到一個補償系統來處理這個失真德信號，如圖1所示。
圖1
1）、如果實現完全的補償，那麼sc[n]=s[n]，也就是說，Hc[z]就是Hd[z]的逆系統。
2）、如果假定失真系統是穩定和因果德，並且要求補償系統也是穩定和因果德，那麼只有當Hd[z]是最小相位系統而有一個穩定和因果的逆系統時，這種完全的補償纔有可能。
2、Hd(z)和Hdmin(z)有相同的頻率響應幅度，並且通過一個全通系統Hap（z）聯繫在一起，即
式5.2
選取補償濾波器爲
式5.3
聯繫sc[n]和s[n]的總系統函數是
式5.4
即G(z)相當於一個全通系統。結果，就完全不唱了頻率響應幅度，而相位響應則被調整爲
。
三）、最小相位系統的性質
1、最小相位滯後性質：一個全通系統的連續相位曲線在0≤w≤Π總是負的。因此，將Hmin(z)的零點從單位圓內反射到單位圓外其共軛倒數的位置上總是使(連續)相位減少，或者說使相位的負值增加，這就稱之爲相位滯後函數。這樣具有幅度響應爲|Hmin(ejw)|，全部零點（當然還是極點）都位於單位圓內的因果穩定的系統對於具有相同幅度響應的所有其他系統而言就具有最小滯後函數（0≤w≤Π）。
2、最小羣延遲性質：全通系統具有這樣一個一般性質：它們對全部w總是有正德羣延遲。因此，如果還是考慮全部都有給定幅度響應|Hmin(ejw)|德系統，那麼全部零、極點都在單位圓內德系統就有最小德羣延遲。
3、最小能量延遲性質：
式5.5
根據式（5.5），最小相位系統德部分能量集中在n=0周圍，也就是說，最小相位（滯後）系統也稱爲最小能量延遲系統，簡稱最小延遲系統。
二、廣義線性相位德線性系統
一）、線性相位系統
1、考慮一個LTI系統，其響應在一個週期內是
式5.6
式中α是實數，但不一定是整數。這樣的系統是一個“理想延遲”系統，這裏的α是由該系統引入德延遲。
1）、可看出該系統有恆定的幅度相應、線性相位和恆定羣延遲，即
式5.7
式5.8
式5.9
2）、
的傅里葉逆變換就是單位脈衝響應，爲
式5.10
3）、對輸入x[n]，該系統的輸出是
式5.11
若α=nd，那麼就有
式5.12
和
式5.13
也就是說，如果α=nd是一個整數，那麼具有線性相位和單位增益的式（5.6）系統知識輸入序列移動nd個樣本。
2、對於α不是整數的討論：具體來說式(5.6)系統的一種如圖2所示，
圖2
其中
和
，使得
式5.14
對x[n]原來是否是經由採樣一個連續時間信號得到的，這種表示都是正確的。按照圖2的表示y[n]就是輸入序列帶線內插時移後的樣本序列，即
式(5.6)的系統就是具有α樣本的延遲，即使α不是整數。
3、理想延遲系統的討論，也給出了對具有非恆定幅度頻率響應的線性相位一種有用的解釋。
4、一般而言，一個線性相位系統具有頻率響應爲
式5.15
1）、如果2α是整數（即α爲整數或爲一個整數再加1/2），那麼相應的單位脈衝響應關於α就是偶對稱的，即
式5.16
2）、如果α不是一個整數，那麼單位脈衝響應就不具有對稱性。
二）、廣義線性相位
1、如果系統的頻率響應能表示成
式5.17
就說明該系統是一個廣義線性相位系統。
1）、這裏的α和β都是常熟，而A(ejw)是w的實（可能由正負）函數。
2）、如果不顧及在整個|w|<Π的頻帶或者部分頻帶內由於附加固定相位項而帶來的不連續性的話，那麼這類系統也能用恆定羣延遲來表徵這就是具有
式5.18
的這類系統具有更一般的線性相位形式爲
式5.19
式中α和β都是實數。
2、線性相位系統的單位脈衝響應在2α爲整數時，對α可以具有對稱性。由此導出如下一個對恆定羣延遲系統h[n],α和β都必須滿足的方程。
式5.20
這個方程對於具有恆定羣延遲的系統時關於h[n]，α和β的一個必要條件。
3、廣義線性相位系統的例子
1）、滿足以下條件的系統
式5.21a
式5.21b
式5.21c
有了β不是=0或Π，式(5.20)就變成
式5.22
由此可以證明，如果2α時整數，式(5.24)中的各項就能配對，一使得組成的每一對對全部w都恆爲零。
2）、滿足以下條件
式5.23a
式5.23b
式5.23c
式(5.23)就意味着頻率響應具有式（5.17）的形式，這時，式（5.22）就變爲
式5.24
且該式對所有w都成立。
三）、因果廣義線性相位系統
1、如果系統時因果的，那麼式（5.22）就變成
式5.25
因果性和式（21）、式（5.23）的條件就意味着
式5.26
也就是說，如果系統單位脈衝響應的長度爲(M+1)，並滿足式（5.21c）或式（5.23c），那麼因果FIR系統就具有廣義線性相位。具體來說；
1）若
式5.27a
就能證明
式5.27b
式中
是w的實、偶和週期函數。
2）、若
式5.28a
就能證明
式5.28b
式中
是w的實、偶和週期函數。應該注意在兩種情況下，單位脈衝響應的長度都是（M+1）個樣本。
3）、式（5.27）和式（5.28）對保證具有廣義線性相位的因果系統都是充分條件。然而他們都不是必要條件。
2、FIR線性相位系統頻率響應表達式在濾波器設計和理解這類系統的某些性質上是有用的。在導出這些表達式時，會發現能得出一些明顯不同的表達式。這取決於對稱的形式和M時偶數還是奇數。爲此，定義4種類型的FIR廣義線性相位系統一般是有用的。
I類FIR線性相位系統
I類系統時定義爲具有如下面對稱單位脈衝響應特性的系統
式5.29
其中M爲偶整數。延遲M/2也是整數，頻率響應是
式5.30a
這裏
式5.30b
式5.30c
於是，由式（5.30a）可見
具有式（5.27b）的形式，特別是相應於式（5.17）中的β不是0就π。
II類FIR線性相位系統
II類系統有式（5.29）的對稱單位脈衝相應特性，這裏M爲奇整數。這裏的H(ejw)可表示爲
式5.31a
式中
式5.31b
具有式（5.27b）的形式，其延遲爲M/2。這是就是一個整數加上半個樣本間隔的延遲，而相應於式（5.17）中的β是0或π。
III類FIR線性相位系統
如果系統具有如下反對稱單位脈衝響應特性：
式5.32
其中M爲偶數，那麼
就具有
式5.33a
這裏
式5.33b
這裏
具有式（5.28b）的形式，其延遲爲M/2，是一個整數，而對應於式（5.17）中的β是π/2或3π/2。
IV類FIR線性相位系統
如果單位脈衝響應特性是式（5.32）的反對稱，而M爲奇函數，那麼
式5.34a
這裏
式5.34b
與III類系統的情況相同，
具有式（5.28b）的形式，其延遲爲M/2，是一個整數再加上半個樣本間隔的延遲，而相應於式（5.17）中β就是π/2或3π/2。
FIR線性相位系統的零點位置
考慮一下FIR線性相位系統的系統函數零點的位置。它們的系統函數是
式5.35
1）、在對稱的情況下（I和II類），能用式（5.29）來表示H(z)爲
式5.36
由式（5.153）得出，如果z0是H(z)的零點，那麼
式5.37
者意味着：若
是H(z)的零點，那麼
也是H(z)的零點。當h[n]爲實數且z0是H(z)的零點時，那麼
也一定時H(z)的零點，並且按照前述能夠推得
也是H(z)的零點。因此，當h[n]是實數時，不在單位圓上的每個複數零點一定時一組4個如下形式的共軛倒數零點中的一個：
如果H(z)的零點在單位圓上，即
，那麼
，所以單位圓上的零點以如下形式成對出現：
如果H(z)的零點是實數但不在單位圓上，其倒數也一定是H(z)的零點，H(z)將有如下因子：
最後，H(z)在z=±1的零點，因爲±1的倒數和共軛還是±1，所以只能以z=±1出現。因此，H(z)也可有如下因子
零點在z=-1的情況很重要。根據式（5.36）
如果M爲偶數，這就是一個簡單的恆等式：但若M爲奇數，H(-1)=-H(-1)，則H(-1)必須是零。據此，對於M爲奇數的對稱脈衝響應，其系統函數必須有一個零點在z=-1。圖3（a）和（b）分別表示I類（M爲偶數）和II類（M爲奇數）系統的典型的零點位置。
圖3
2）、如果單位脈衝響應式反對稱的（III類和IV類），那麼遵循上面得出式（5.29）的辦法，可以證明有
式5.38
這個式子用來說明對於反對稱情況，H(z)的零點也和對稱情況下的零點一樣收到約束。然而，在反對稱情況下，z=1和z=-1都具有特殊的意義。若z=1，式（5.38）就變成了
H(1)=-H(1)式（5.39）
於是H(z）必須有z=1的零點，不論M爲偶數還是奇數。若z=-1，式（5.38）給出
式（5.40）
這時，若（M-1）爲奇數（M爲偶數），H(-1)=-H(-1)，所以z=-1在M爲偶數時必須時H(z)的零點。圖3(c)和(d)分別示出了III類和IV類系統典型的零點位置。
四）、FIR線性相位系統與最小相位系統的關係
1、以上的討論表明，所有單位脈衝響應爲實的FIR線性相位系統，其零點不是在單位圓上就是在共軛倒數的位置上。因此，很容易證明，任何FIR線性相位系統的系統函數都能因式分解爲最小相位項Hmin(z)、最大相位項Hmax（z）以及僅包含單位圓上的零點的項Huc（z），即
式（5.41a）
這裏
式（5.41b）
Mi是Hmin（z）零點的個數。在式（5.41a）中，Hmin（z）的全部Mi個零點都在單位圓內，而Huc（z）的全部Mo個零點都在單位圓上。Hmax（z）的全部Mi個零點都在單位圓外。並且從式（5.41b）可知，它的零點就是Hmin（z）的Mi個零點的倒數。因此，系統函數H(z)的階就是M=2Mi+Mo。