《離散時間信號處理學習筆記》—線性時不變系統的變換分析（一）

注：本博客是基於奧本海姆《離散時間信號處理》第三版編寫，主要是爲了自己學習的複習與加深。

一、LTI系統的頻率響應

一）、頻率響應相位和羣延遲

1、在各頻率點上的頻率響應通常爲一個複數。若利用極座標形式來表示頻率響應，則系統的輸入和輸出的博裏葉變換的幅度和相位由下式聯繫；

式5.1

式5.2

其中||代表系統的幅度響應或增益，而爲系統的相位響應或相移。式5.1和式5.2所表示的幅度和相位上的影響，如果輸入信號以一種有用的方式變換，這就是所需要的；如果以一種有害的方式變化，這就是不需要的。後一種情況下，通常把LTI系統對系統的影響分別稱爲幅度失真和相位失真。

2、任何複試的相位角都不能唯一定義的。當利用反正切子程序對相位進行述職計算時，通常會得到主值。

1）、將相位的主值記爲，其中

式5.3

2）、任何其他的，可以獲得函數的正確複數值得角度，都可以用主值來進行表示，表達式如下

式5.4

其中r(w)是一個正的或負的整數，在各w值上可以不相同。

3、ARG[]是指卷繞相位。在幅度和相位表示中，ARG[]可以被去卷繞稱爲w連續變化的相位曲線。連續(展開後)相位曲線記爲arg[]。相位的另一種特別有用的表示形式是通過如下定義的羣延遲

式5.5

除了在不連續點上外，羣延遲可以通過微分運算從主值中計算得到。類似的，可以將羣延遲表示模糊相位的表示形式，表達式爲

式5.6

4、一般的，可以把一個寬帶信號看成具有不同中心頻率的窄帶信號的疊加。如果羣延遲不隨頻率變換，則每個窄帶分量將具有相同的時延。如果羣延遲不是常數，不同頻率包上有不同的時延，這便導致了輸出信號能量的時間包散特性。也就是說，相位的非線性或等效爲非恆定的羣延遲會導致在時間上的色散。

二、用線性常係數差分方程表徵系統

1、離散時間濾波器都是通過式5.7的常係數差分方程的形式來實現的

式子5.7

對於一個其輸入和輸出滿足式5.7差分方程的系統，其系統函數有如下代數形式

式5.8

式5.8也可以表示成如下的因式形式

式5.9

2、差分方程與系統函數相應的代數表達式之間有一個直接的關係。具體的說，式5.8分子多項式與式5.7右邊()有相同的係數和代數結構，而式5.9分母多項式與式5.8左邊()有相同的係數和導數結構。

一）、穩定性和因果性

1、對於式5.7或式5.9的系統函數，有幾種收斂域的選擇。對一個給定的多項式之比，收斂域的每一種可能選擇都將導致不同的單位脈衝響應，但它們全都對應於同一差分方程。然而，若假定系統是因果的，那麼h[n]就必須是一個右邊序列，因此H(z)的收斂域位於最外面極點的外面。另外，若假定系統是穩定的，單位脈衝響應必須是絕對可加，即

式5.10

因爲式5.10在|z|=1時與下述條件一直：

式5.11

所以穩定性條件就等效於H(z)的收斂域包括單位圓。

2、因果性和穩定性不一定是互爲兼容的要求。對於一個滿足式5.7差分方程的線性時不變系統，要求它僅是因果有時穩定，則相應系統函數的收斂域必須是位於最外面極點的外面有包括單位圓。很顯然，這就等於要求該系統函數的全部極點都在單位圓內。

二）、逆系統

1、對於一個系統函數爲H(z)的線性時不變系統，其對應的逆系統定義爲：系統函數爲Hi(z)的逆系統與H(z)級聯後，總的系統函數爲1，即

式5.12

這意味着

式5.13

式5.12的等效時域條件是

式5.14

由式5.13，該逆系統的頻率響應若存在，則有

式5.15

即Hi(z)是H(z)的倒數。該逆系統的對數幅度、相位和羣延遲都是圓系統相應函數的負值。不是所有的系統都有一個逆系統。

2、有理系統函數的逆系統。具體地，考慮

式5.16

其零點在z=ck，極點在z=dk，以及另外可能的在z=0和z=∞的零點和/或極點。那麼

式5.17

也就是說，Hi(z)的極點就是H(z)的零點；反之亦然。Hi(z)額收斂域是任何適當的預式5.18給出的區域中和的收斂域就是Hi(z)的有效收斂域

式5.18

若H(z)是零點在ck,k=1,...，M的一個因果系統，那麼當且僅當Hi(z)的收斂域爲

式5.19

時候，其逆系統一定是因果的。如果也要求逆系統時穩定的，那麼Hi(z)的收斂域必須包括單位圓。因此就必須是

式5.20

也就是說全部H(z)的零點必須在單位圓內。因此，當且僅當H(z)的零點和極點都在單位圓內，一個穩定因果的線性時不變系統也有一個穩定因果的逆系統。

三）、有理函數的單位脈衝響應

1、任何具有一階極點的，以z-1爲冪給出的有理函數可以表示成如下形式；

式5.21

1）、式中第一個求和的這些項使用分母除以分子的長除法求得的。並且僅當M≥N時纔有這些項。

2）、第二個和式中的係數Ak，可以用前面的式子推導得到。

3）、如果系統假定是因果的，那麼收斂域就位於式5.21全部極點的外邊，這樣就可得

式5.22

式中第一個求和金丹M≥N時才存在。

2、在討論LTI系統時，區分兩類系統時有用的。

1）、在第一種情況下，至少有一個H(z)的非零極點未被某個零點抵消。這時，至少一項是具有這種形式的，h[n]就不會是有限長，即在某一有限區間外不是零因此，這類系統稱爲無限脈衝響應IIR系統。

2）、第二類系統是H(z)除z=0外，沒有任何極點。因此，不可能進行部分分式展開。H(z)就只是一個如下z-1的多項式

式5.23

在這種情況下，H(z)除了一個常數因子外就完全由它的零點所確定由式5.23，h[n]憑直觀就能看出是

式5.24

這時，單位脈衝響應在長度上是有限的，也即在某一有限區間之外爲零因此這類系統就稱有限脈衝響應(FIR)系統。

三、有理系統的頻率響應

1、如果一個穩定的線性時不變系統有一個有理的系統函數，那麼它的頻率響應就具有如下形式

式5.25

爲了確定與這樣的系統頻率響應有關幅度、相位和羣延遲，將H(ejw)用H(z)的零極點來表示式很有用的。將z=ejw帶入式5.9就得到如下表達式

式5.26

由式5.26可得|H(ejw)|爲

式5.27

對應地，幅度平方函數爲

式5.28

從式5.26可見，|H(ejw)|就是H(z)中全部零點因式在單位圓上求值的幅度乘積被全部極點因式在單位圓上求值的幅度乘積所除。表示成dB的形式，增益定義爲

式5.29

式5.30

2、一個有理系統函數的相位響應具有如下形式

式5.31

其中arg[]表示連續（未峻繞的）相位。

3、有理系統函數的對應羣延遲是

式5.32

一種等效的表示方式是

式5.33

一）、一階系統的頻率響應

1、單一因式的性質，該因式可以是在z平面內半徑爲r，相角爲的一個極點，活着是一個零點所構成的典型項。

1）、此因式的幅度平方是

式5.34

2）、該因式所對應的以dB爲單位的增益是

式5.35

如果因式表示一個零點則符號爲正，如果因式代表一個極點則符號爲負。

3）、該因式對主值的貢獻是

式5.36

4）、將式（5.36）右邊微分（除不連續點外）就得到該因式對羣延遲的貢獻爲

式5.37

同樣的，如果因式代表一個零點則符號爲正，代表一個極點則符號爲負。

2、在從連續時間或離散時間系統的零-極點圖推導頻率響應特性的過程中，複平面內的相應矢量圖形通常式有用的。在這種結構下，每個極點和零點因式的複數值都能用在z平面上從極點或零點到單位圓上某一點的矢量來表示，對於具有如下形式的一階系統函數

式5.38

其零-極點圖如圖1所示

圖1

四、幅度和相位之間的關係

1、對於由線性常係數差分方程描述的系統，也即具有有利系統函數的系統，其幅度和相位特性之間由某種制約關係存在

1）、如果頻率響應的幅度特性和零極點個數式已知的，那麼與其有關的相位特性僅有有限種選擇。

2）、如果零極點個數是已知的，那麼除了一個幅度加權因子外，也僅有有限個幅度特性可供選擇。

3）、在稱之爲最小相位的限制下，頻率響應的幅度特性唯一決定了相位特性；而頻率響應的相位特性出去一個幅度加權因子外也決定了幅度特性。

2、爲了闡明在給定系統頻率響應的幅度平方特性下，系統函數的可能選擇，考慮將表示成

式5.39

由於將系統函數H(z)限制爲下式的有理形式

式5.40

那麼，式（5.39）中的H*(1/z*)爲

式5.41

這裏已家定a0，b0都是實數。因此式（5.39）意味着該頻率響應的幅度平方就是由俠士給定的z變換C(z)在單位圓上的求值

式5.42

如果已知表示爲ejw函數的，那麼以z代替ejw就能構造出C(z)，由C(z)能推出全部可能的H(z)。

1）、對於H(z)的每個極點dk，在C(z)中就會有dk和（dk*）-1的極點存在。

2）、對於H(z)的每個零點ck，在C(z)就會有零點ck和（ck*）-1的存在。

3、C(z)的零極點是以共軛倒數對的形式出現的，每對中的一個是與H(z)相聯繫的，另一個則與H*(1/z*)有關。再者，如果每隊中的一個是在單位圓內的話，那麼另外一個（即共軛倒數）就一定在單位圓外。僅有的例外是這兩個都在單位圓上，那麼它們就在同一位置上。如果H(z)假設是對應於因果穩定的系統，那麼它的全部極點都必須位於單位圓內。有了這個先知，H(z)的極點可以從C(z)分離出來。然而，僅憑這一點，H(z)的零點還是不能從C(z)的零點中唯一地被確定。

五、全通系統

1、具有形式爲

式5.43