如何通俗地理解卷積？

從數學上講，卷積就是一種運算。

某種運算，能被定義出來，至少有以下特徵：

• 首先是抽象的、符號化的

• 其次，在生活、科研中，有着廣泛的作用

比如加法：

•  ，是抽象的，本身只是一個數學符號

• 在現實中，有非常多的意義，比如增加、合成、旋轉等等

卷積，是我們學習高等數學之後，新接觸的一種運算，因爲涉及到積分、級數，所以看起來覺得很複雜。

1 卷積的定義

我們稱 爲 的卷積

其連續的定義爲：

其離散的定義爲：

這兩個式子有一個共同的特徵：

這個特徵有什麼意義？

我們令 ，那麼 就是下面這些直線：

如果遍歷這些直線，就好比，把毛巾沿着角捲起來：

或許，這就是“卷”積名字的來源吧。

只看數學符號，卷積是抽象的，不好理解的，但是，我們可以通過現實中的意義，來習慣卷積這種運算，正如我們小學的時候，學習加減乘除需要各種蘋果、糖果來幫助我們習慣一樣。

我們來看看現實中，這樣的定義有什麼意義。

2 離散卷積的例子：丟骰子

我有兩枚骰子：

把這兩枚骰子都拋出去：

求：

這裏問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等於4，這正是卷積的應用場景。

我們把骰子各個點數出現的概率表示出來：

那麼，兩枚骰子點數加起來爲4的情況有：

因此，兩枚骰子點數加起來爲4的概率爲：

符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是：

3 連續卷積的例子：做饅頭

樓下早點鋪子生意太好了，供不應求，就買了一臺機器，不斷的生產饅頭。

假設饅頭的生產速度是 ，那麼一天後生產出來的饅頭總量爲：

饅頭生產出來之後，就會慢慢腐敗，假設腐敗函數爲 ，比如，10個饅頭，24小時會腐敗：

想想就知道，第一個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷24小時的腐敗，第二個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷23小時的腐敗。

如此，我們可以知道，一天後，饅頭總共腐敗了：

這就是連續的卷積。

4 圖像處理中的應用

4.1 原理

有這麼一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點：

高頻信號，就好像平地聳立的山峯：

看起來很顯眼。

平滑這座山峯的辦法之一就是，把山峯刨掉一些土，填到山峯周圍去。用數學的話來說，就是把山峯周圍的高度平均一下。

平滑後得到：

4.2 計算

卷積可以幫助實現這個平滑算法。

有噪點的原圖，可以把它轉爲一個矩陣：

然後用下面這個平均矩陣（說明下，原圖的處理實際上用的是正態分佈矩陣，這裏爲了簡單，就用了算術平均矩陣）來平滑圖像：

記得剛纔說過的算法，把高頻信號與周圍的數值平均一下就可以平滑山峯。

比如我要平滑 點，就在矩陣中，取出 點附近的點組成矩陣 ，和 進行卷積計算後，再填回去：

要注意一點，爲了運用卷積， 雖然和 同維度，但下標有點不一樣：

我用一個動圖來說明下計算過程：

寫成卷積公式就是：

要求 ，一樣可以套用上面的卷積公式。

這樣相當於實現了 這個矩陣在原來圖像上的划動（準確來說，下面這幅圖把 矩陣旋轉了 ）：

馬同學高等數學