[HNOI2019]白兔之舞 Bluestein's Algorithm FFT 生成函數 矩陣乘法

[HNOI2019]白兔之舞

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名字不錯 ^ o ^

分析

題意：較長，自己看！
聽說要單位根反演？不會.jpg。
還好有非單位根反演的做法：-）
首先樸素Dp的話大概就是
$F(i,j,l)=\sum_{a=0}^{i-1}\sum_{b=1}^{n}F(a,b,l-1)w[b][j]$
$l$那麼大令人厭惡，給他生成函數掉！
$F(i,j)=\sum_{a=0}^{i-1}\sum_{b=1}^nxF(a,b)w[b][j]$
$=\sum_{b=1}^n(\sum_{a=0}^{i-1}F(a,b))w[b][j]x$
設$S(i,b)=\sum_{a=0}^{i}F(a,b)$
$F(i,j)=\sum_{b=1}^nS(i-1,b)w[b][j]x$
$S(i,j)-S(i-1,j)=\sum_{b=1}^nS(i-1,b)w[b][j]x$
式子化到這裏如果不是$S$是多項式，我甚至想要矩乘！
那就試一試唄！
構造矩陣
$\left [ \begin{matrix} w[1][1]x+1 & w[1][2]x & w[1][3]x \\ w[2][1]x & w[2][2]x + 1 & w[2][3]x \\ w[3][1]x & w[3][2]x & w[3][3]x + 1 \end{matrix} \right ]$
可是多項式矩陣乘個鬼？
這個時候有一種神奇的操作，就是咱知道$F(L,i)$是$L$次多項式，所以咱們可以把$x$帶點值進去矩乘，然後再插回來。
帶一個點值的複雜度是$O(n^3logL)$的，帶點值的複雜度是$O(Ln^3LogL)$，如果然後拉格朗日插值用$FFT$優化的複雜度是$O(Llog^2L)$，似乎蠻優秀的。。。。
在沒看數據範圍的情況下T-T
這個時候就得機智一點了，我們發現實際上我們僅僅需要知道$\mod x^k$意義下的多項式。
而且題目給了個條件$k|p-1$
那不是明白着讓你帶原根進去嘛，假設原根爲$g$，我們取$w=g^{\frac{p-1}{k}}$，並帶入$x=w^0,w^1\cdots w^k$，這樣的話次冪在帶入的時候就自動循環了，就只需要帶$k$個值，帶點值的部分變成了$kn^3logL$。
簡單地說，我們用帶入的方式對$F(L,i)$進行了一次$DFT$
那麼怎麼求係數？根據$FFT$的結論，只需要$IDFT$一次出來的點值就是係數
也就是已知$F(i)=\sum_{i=0}^{k-1}a_ix^i$和$w$，求
$G(i)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{k}F(w^{-i})x^i=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}w^{-ij}a_j$
然後關於卷積中$ij$項的處理，有一種操作是：
$ij=\frac{(i+j)^2-i^2-j^2}{2}$
但是有點小問題，就是這道題如果有一個$\frac{1}{2}$的話，可能找不到二次剩餘。
另一種巧妙的轉化方式是$ij=C_{i+j}^2-C_i^2-C_j^2$
這個轉化可以從組合意義的角度考慮。
這樣的話就有
$G(i)=\frac{1}{k}\sum_{i,j}w^{C_i^2+C_j^2-C_{i+j}^2}a_j=\frac{1}{k}w^{C_i^2}\sum_{i,j}w^{-C_{i+j}^2}w^{C_j^2}a_j$
根據套路設$f_i=w^{C_i^2}a_i,g_i=w^{-C_{i}^2}$
把$g$倍增反轉卷積即可。
事實上，上述描述的算法流程就是$Bluestein's Algorithm$，一種用卷積實現任意長度$DFT$和$IDFT$的方法。

代碼

MTT好煩啊

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 262144;
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f  = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int st[N], w[N], F[N], G[N], H[N], v[3][3], tp, P, g, n, wn, L, k, x, y;
struct Maxtir {
	int m[3][3];
	int *operator [] (int x) {return m[x];}
	Maxtir operator * (const Maxtir &B) {
		static Maxtir C;
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			for(int j = 0;j < n; ++j) {
				long long res = 0;
				for(int k = 0;k < n; ++k)
					res += 1LL * m[i][k] * B.m[k][j];
				C[i][j] = res % P;
			}
		return C;
	}
}A, B;
void Pow(int k) {
	B = A; --k;
	for(;k; B = B * B, k >>= 1)
		if(k & 1)
			A = A * B;
}
int Pow(int x, int k) {
	int r = 1;
	for(;k; x = 1LL * x * x % P, k >>= 1)
		if(k & 1)
			r = 1LL * r * x % P;
	return r;
}
void FindG(int P) {
	int m = sqrt(P - 1);
	for(int i = 2;i <= m; ++i)
		if(!((P - 1) % i)) {
			st[++tp] = i;
			if(i * i != P - 1) 
				st[++tp] = (P - 1) / i;
		}
	for(g = 2;; ++g) {
		int j;
		for(j = 1;j <= tp; ++j)
			if(Pow(g, st[j]) == 1)
				break;
		if(j == tp + 1) return;
	}	
}
void Calc(int w) {
	for(int i = 0;i < n; ++i)
		for(int j = 0;j < n; ++j)
			A[i][j] = (1LL * w * v[i][j] + (i == j)) % P;
	Pow(L); 
}
int C2(int i) {return (1LL * i * (i - 1) >> 1) % k;}
namespace MTT {
	const double pi = acos(-1.0);
	int R[N];
	struct cp {
		double r, i;
		cp(double _r = 0, double _i = 0) : r(_r), i(_i) {}
		cp operator + (const cp &a) const {return cp(r + a.r, i + a.i);}
		cp operator - (const cp &a) const {return cp(r - a.r, i - a.i);}
		cp operator * (const cp &a) const {return cp(r * a.r - i * a.i, r * a.i + i * a.r);}
	}A[N], B[N], C[N], D[N], w[N];
	void Pre(int m) {
		int x = 0; L = 1;
		for(;(L <<= 1) < m;) ++x;
		for(int i = 1;i < L; ++i)
			R[i] = R[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << x;
		for(int i = 0;i < L; ++i)
			w[i] = cp(cos(2 * pi * i / L), sin(2 * pi * i / L));
	}
	void DFT(cp *F) {
		for(int i = 0;i < L; ++i)
			if(i < R[i])
				std::swap(F[i], F[R[i]]);
		for(int i = 1, d = L >> 1; i < L; i <<= 1, d >>= 1)
			for(int j = 0;j < L; j += i << 1) {
				cp *l = F + j, *r = F + j + i, *p = w, tp;
				for(int k = i; k--; ++l, ++r, p += d)
					tp = *r * *p, *r = *l - tp, *l = *l + tp;
			}
	}
	void Mul(int *F, int n, int *G, int m, int *H) {
		Pre(n + m);
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			A[i] = F[i] & 32767, B[i] = F[i] >> 15;
		for(int i = 0;i < m; ++i)
			C[i] = G[i] & 32767, D[i] = G[i] >> 15;
		DFT(A); DFT(B); DFT(C); DFT(D);
		for(int i = 0;i < L; ++i) {
			const cp a = A[i], b = B[i], c = C[i], d = D[i];
			A[i] = a * c; B[i] = a * d + b * c; C[i] = b * d;
		}
		DFT(A); DFT(B); DFT(C);
		for(int i = 0;i < n + m; ++i) {
			int j = L - i & L - 1;
			long long a = (long long)(A[j].r / L + 0.5) % P;
			long long b = (long long)(B[j].r / L + 0.5) % P;
			long long c = (long long)(C[j].r / L + 0.5) % P;
			H[i] = (a + (b << 15) % P + (c << 30) % P) % P;
		}
	}
}
int main() {
	n = ri(); k = ri(); L = ri(); x = ri() - 1; y = ri() - 1; P = ri();
	for(int i = 0;i < n; ++i)
		for(int j = 0;j < n; ++j)
			v[i][j] = ri();
	FindG(P); wn = Pow(g, (P - 1) / k);
	w[0] = 1; 
	for(int i = 1;i < k; ++i)
		w[i] = 1LL * w[i - 1] * wn % P;
	for(int i = 0;i < k; ++i) {
		Calc(w[i]);
		G[k - i - 1] = 1LL * A[x][y] * w[C2(i)] % P;
	}
	for(int i = 0;i < (k << 1 | 1); ++i)
		F[i] = w[(k - C2(i)) % k];
	MTT::Mul(F, k << 1 | 1, G, k, H);
	int invk = Pow(k, P - 2);
	for(int i = 0;i < k; ++i)
		printf("%d\n", 1LL * H[i + k - 1] * invk % P * w[C2(i)] % P); 
	return 0;
}