仿射變換與齊次座標

October 12, 2011gcchengLeave a commentGo to comments

仿射變換（Affine Transformation）和齊次座標系（Homogeneous Coordinate)是計算機圖形學中經常碰到的基本概念。這篇文章主要講述什麼是仿射變換和齊次座標系，以及在圖形系統中爲什麼要是用它們。不求全面，只爲自己學習理解。

仿射變換其實是另外兩種簡單變換的疊加：一個是線性變換，一個是平移變換。統一平移變換和線性變換的一種變換我們起了個名字叫“仿射變換”。這個新的變換就不再單純的是兩個線性空間的映射了，而是變成了兩個仿射空間的映射關係。爲了更好地理解仿射變換，首先就要知道線性變換以及它的不足。在未說明的情況下，下面使用的是卡迪爾座標系。

所謂線性變換是指兩個線性空間的映射，一個變換 $\mathcal{L}:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 是線性變換，必須滿足兩個條件，也就是我們經常說的線性條件：

$L(u+v)=L(u)+L(v)$ additivity

$L({\alpha}u)={alpha}L(u)$ homogeneity

舉個例子說明一下。建設 $L$ 是一個二維繞原點旋轉變換， $u$ 和 $v$ 是旋轉角度。我們知道“一次性旋轉 $u+v$ 度”和“先旋轉 $u$ 度再旋轉 $v$ 讀”達到的效果是一樣的；同樣地，“一次性旋轉 ${\alpha}u$ 度”和“旋轉 ${\alpha}$ 次u度”也是一張的。

線性變換可以用矩陣來表示。假設 $p=(x,y)^{T}$ 是二維空間中的點，T是一線性變換，那麼存在一個矩陣A，使得 $p'=(x',y')^{T}=T(p)=Ap$ 。上面的旋轉變換R，以及縮放S變換都有相應的變換矩陣

但是在卡迪爾座標系中，平移變換卻不能用矩陣來表示。一個平移變換T具有如下的形式

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我們可以很容易地驗證，平移變換T是不能寫成兩個矩陣乘積形式的。使用齊次座標系很好的解決了這個問題(可能還有其它的原因)。齊次座標系統其實是用高維座標來表示一個低維的點，就好比我們用（x,1)來表示一個長度值一樣，其實用一個x就可以了，但是用高一維的表示，在有的時候會帶來便利。一個N維的卡迪爾座標系中的一個點 $p=(x_1,x_2,...,x_N)$ ，在齊次座標系中有無數的N+1維點與之對應，這些點可以描述爲 $p_H=(\omega x_1,\omega x_2,...,\omega x_N,\omega)$ ， $\omega$ 取不同的值，我們變得到齊次座標系中不同的點。當把這些點映射到 $\omega=1$ 平面（不改變 $x_i$ 之間比例），我們又降維得到對應的卡迪爾座標系中的點。在OpenGL中我們是用 $(x,y,z,1)$ ( $\omega=1$ )來表示一點三維的點，顯然這個點與卡迪爾座標系中的點 $(x,y,z)$ 是一一對應的。在計算的過程中，會出現第四個分量不爲 $\omega \neq 1$ 的情況，這時我們也總是同除以 $\omega$ 使齊次座標正規化。現在回來讓我們看看使用齊次座標時，對應的線性變換是什麼形式。假設 $p=(x,y,1)^{T}$ 是二維點對應的齊次座標，與上面使用卡迪爾座標系類似，我們可以得到相應的線性變換如旋轉變換R和縮放變換S的矩陣表示：