【JZOJ6242】【NOI2019模擬2019.7.1】刀劍傳奇（容斥+高維前/後綴和）

Description

• 給定$N(≤5\times10^5)$個長度爲20的01串，每次可選擇其中恰好$K$個。
• $Q(≤5\times10^5)$個詢問，每個詢問表示爲一個長度爲20的01串，若其某一位爲1則選擇的$K$個串中至少要有一個的該位爲1。求方案數。

Solution

• 考慮容斥。設$f[i]$表示選擇了$K$個與$i$按位與的答案均爲0的串的方案數，則根據二項式反演易得：$ans_S=\sum_{i\subset S} (-1)^{|i|}f[i]$。
• 我們再設$g[i]$表示滿足與$i$按位與的答案均爲0的串的個數，則顯然$f[i]=C(g[i],K)$。
• 現在，考慮快速求出$g[i]$和$ans_S$。

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• 對於$N$個串中的任意一個，我們可以先將其取反，然後再令它的每個子集的$g[i]$++。
• 如果反過來，令所有包含某個小集合的大集合的$g[i]$++，那就相當於求一個高維前綴和（每位1包含0的答案）；而現在則可以類比爲高維後綴和（每位0包含1的答案）。前者的實現是按位合併；後者的實現也差不多（詳見Code）。
• 而$ans_S=\sum_{i\subset S} (-1)^{|i|}C(g[i],K)$，則相當於求高維前綴和，另開一個數組存儲即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=51e4,S=1<<20;
const ll mo=1e9+7;
int c[S],i,j,n,k,q,x,g[S];
char s[20];
ll fac[N],inv[N],f[S];

ll fpow(ll x,ll y) {ll ans=1; for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mo)if(y&1)(ans*=x)%=mo; return ans;}

int main()
{
	freopen("swords.in","r",stdin);
	freopen("swords.out","w",stdout);
	c[0]=1;
	fo(i,1,S-1) c[i]=c[i>>1]*(i&1?-1:1);
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&q);
	fac[0]=1;
	fo(i,1,n)
	{
		scanf("%s",s); x=0;
		fo(j,0,19) x=x*2+49-s[j];
		g[x]++; fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	}
	inv[n]=fpow(fac[n],mo-2);
	fd(i,n-1,0) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo; 
	fo(i,0,19) fo(j,0,S-1) if(j&1<<i) g[j^1<<i]+=g[j];
	fo(i,0,S-1) if(g[i]>=k) f[i]=(c[i]*fac[g[i]]*inv[k]%mo*inv[g[i]-k]%mo+mo)%mo;
	fo(i,0,19) fo(j,0,S-1) if(j&1<<i) (f[j]+=f[j^1<<i])%=mo;
	fo(i,1,q)
	{
		scanf("%s",s); x=0;
		fo(j,0,19) x=x*2+s[j]-48;
		printf("%lld\n",f[x]);
	}
}