Description
- 给定N(≤5×105)个长度为20的01串,每次可选择其中恰好K个。
- Q(≤5×105)个询问,每个询问表示为一个长度为20的01串,若其某一位为1则选择的K个串中至少要有一个的该位为1。求方案数。
Solution
- 考虑容斥。设f[i]表示选择了K个与i按位与的答案均为0的串的方案数,则根据二项式反演易得:ansS=∑i⊂S(−1)∣i∣f[i]。
- 我们再设g[i]表示满足与i按位与的答案均为0的串的个数,则显然f[i]=C(g[i],K)。
- 现在,考虑快速求出g[i]和ansS。
- 对于N个串中的任意一个,我们可以先将其取反,然后再令它的每个子集的g[i]++。
- 如果反过来,令所有包含某个小集合的大集合的g[i]++,那就相当于求一个高维前缀和(每位1包含0的答案);而现在则可以类比为高维后缀和(每位0包含1的答案)。前者的实现是按位合并;后者的实现也差不多(详见Code)。
- 而ansS=∑i⊂S(−1)∣i∣C(g[i],K),则相当于求高维前缀和,另开一个数组存储即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=51e4,S=1<<20;
const ll mo=1e9+7;
int c[S],i,j,n,k,q,x,g[S];
char s[20];
ll fac[N],inv[N],f[S];
ll fpow(ll x,ll y) {ll ans=1; for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mo)if(y&1)(ans*=x)%=mo; return ans;}
int main()
{
freopen("swords.in","r",stdin);
freopen("swords.out","w",stdout);
c[0]=1;
fo(i,1,S-1) c[i]=c[i>>1]*(i&1?-1:1);
scanf("%d%d%d",&n,&k,&q);
fac[0]=1;
fo(i,1,n)
{
scanf("%s",s); x=0;
fo(j,0,19) x=x*2+49-s[j];
g[x]++; fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
}
inv[n]=fpow(fac[n],mo-2);
fd(i,n-1,0) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo;
fo(i,0,19) fo(j,0,S-1) if(j&1<<i) g[j^1<<i]+=g[j];
fo(i,0,S-1) if(g[i]>=k) f[i]=(c[i]*fac[g[i]]*inv[k]%mo*inv[g[i]-k]%mo+mo)%mo;
fo(i,0,19) fo(j,0,S-1) if(j&1<<i) (f[j]+=f[j^1<<i])%=mo;
fo(i,1,q)
{
scanf("%s",s); x=0;
fo(j,0,19) x=x*2+s[j]-48;
printf("%lld\n",f[x]);
}
}