隱函數的求導

今天上物理課時偶然想到了隱函數求導的嚴謹證明，那麼就記一下吧。

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首先，如果我們要對一個隱函數求導，我們首先需要證明這個隱函數連續可微

以及，由於我太菜了，所以本文的隱函數只對於二維的隱函數進行了討論

對於一個二維隱函數***Implicit Function*** $f(x,y)$，若對於此函數上的任意一點$A(x_1,y_1)$，都有隱函數上的另一點 $B(x_2,y_2)$ 使得對於任意正數 $\delta>0$ ，都有 $\vert x_1-x_2 \vert<\delta$ 且 $\vert y_1-y_2 \vert<\delta$，那麼我們說這個隱函數 $f(x,y)$ 是連續可微的。

——XsJIONG的胡亂定義

那麼有了這個定義，我們就可以進入正題了。

推導

我們假設有這樣一個函數 $f(x,y)$ ，其對應的隱函數爲
$f(x,y)=C$
其中 $C$ 爲任意常數

那麼我們該如何得到它的導數呢？我們先來回顧一下導數的定義：
$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
即
$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
那麼我們就可以直觀地推出隱函數導數的公式
$f'(x,y)=\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
那麼問題來了，我們該怎麼得到這個 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 呢？

讓我們回到這個隱函數 $f(x,y)=C$ 上，我們可以得出
$\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}f_x(x+\Delta x)+f_y(y+\Delta y)=C \tag2$
其中 $f_x$ 和 $f_y$ 分別代表 $f(x,y)$ 在 $x$ 方向和 $y$ 方向的偏函數。（可以簡單地理解爲把原函數 $f(x,y)$ 拆分爲 $f_x(x)+f_y(y)$，其中 $f_x$ 和 $f_y$ 分別是關於 $x$ 和關於 $y$ 的函數）

發現什麼了嗎？

我們由 $(2)-(1)$ 可得
$\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}f_x(x+\Delta x)-f_x(x)+f_y(y+\Delta y)-f_y(y)=0$
即
$\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}\Delta x\cdot f'_x(x)+\Delta y\cdot f'_y(y)=0 \tag3$
其中 $f'_x(x)$ 和 $f'_y(y)$ 分別代表 $f(x,y)$ 在 $x$ 方向和 $y$ 方向的偏導數。

那麼我們由 $(3)$ 可以得到
$\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}-\Delta x\cdot f'_x(x)=\Delta y\cdot f'_y(y)\\ \lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{f'_x(x)}{f'_y(y)}\\ f'(x,y)=-\frac{f'_x(x)}{f'_y(y)}$
所以一個簡潔的公式就被推導出來了！

驗證

我們來驗證一下這個結論的正確性。

讓我們來看看這個很常見的隱函數：
$f(x,y)=x^2+y^2\\ f(x,y)=25$
它的圖像應該是下圖所示的一個半徑爲5的圓

我們根據剛纔的結論可以得到
$f'(x,y)=-\frac{f'_x(x)}{f'_y(y)}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$
我們再任取一個點 $A(3,4)$ ，根據生活常識，我們可以得到隱函數在這個點上的導數（即圖中黑線的斜率），也就是 $-\frac{3}{4}$ 。

我們再用公式驗證一下：
$f'(3,4)=-\frac{3}{4}$

驗證完畢。