常見函數的導數推導

因爲我特別地垃圾，所以很多函數的求導過程都會忘記，所以特有這篇文章來記錄一下。

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導函數的定義

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}$

基本導函數公式

$(C)'=0$

$\left[f(x)\pm g(x)\right]'=f'(x)\pm g'(x)$

$\begin{aligned} \left[f(x)\cdot g(x)\right]'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot(f(x+\Delta x)-f(x))+f(x)\cdot (g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\cdot f'(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ &=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left[f\left[g(x)\right]\right]'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f\left[g(x)\right]}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f\left[g(x)\right]}{\Delta g(x)}\cdot \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}\\ &=f'\left[g(x)\right]\cdot g'(x) \end{aligned}$

冪函數

$u(x)=f(x)^{g(x)}\\ \ln\left[u(x)\right]=\ln\left[f(x)\right]\cdot g(x)$

兩邊同時求導，得
$\begin{aligned} \frac{u'(x)}{u(x)}&=\frac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g'(x)\\ u'(x)&=\left[\frac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g'(x)\right]\cdot u(x) \end{aligned}$
即
$\left[f(x)^{g(x)}\right]'=\left[\frac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g'(x)\right]\cdot\left[f(x)^{g(x)}\right]$
由這個基本公式我們可以得到幾個常用的特殊冪函數的導數：
$\begin{aligned} (x^a)'&=(\frac{1\cdot a}{x}+\ln x\cdot0)\cdot(x^a)\\ &=a\cdot x^{-1}\cdot x^a\\ &=a\cdot x^{a-1}\\ \\ (a^x)'&=(\frac{0\cdot x}{a}+\ln a\cdot 1)\cdot(a^x)\\ &=\ln a\cdot a^x \end{aligned}$

對數函數

$\begin{aligned} \left[\log_a(x)\right]'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\log_a\left[(\frac{x+\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}\right]\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\log_a\left[(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}\right] \end{aligned}$

令 $\frac{x}{\Delta x}=h$ ，我們有
$\begin{aligned} \left[log_a(x)\right]'&=\lim_{h\to\infty}\log_a\left[(1+\frac{1}{h})^{\frac{h}{x}}\right]\\ &=\lim_{h\to\infty}\log_a\left[(1+\frac{1}{h})^h\right]\cdot \frac{1}{x} \end{aligned}$
根據自然常數 $e$ 的定義，我們得到
$\begin{aligned} \left[log_a(x)\right]'&=\frac{\log_ae}{x}\\ &=\frac{(\frac{\ln e}{\ln a})}{x}\\ &=\frac{1}{\ln a\cdot x} \end{aligned}$

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先記到這裏，想起來再更新吧…