每週一道算法題003：翻牌

問題：

有100張寫着數字1～100的牌，並按順序排列。最開始所有牌都是背面朝上放置。某人從第2張牌開始，隔1張牌翻牌。然後第2, 4, 6, …,100張牌就會變成正面朝上。接下來，另一個人從第3張牌開始，隔2張牌翻牌（原本背面朝上的，翻轉成正面朝上；原本正面朝上的，翻轉成背面朝上）。再接下來，又有一個人從第4張牌開始，隔3張牌翻牌。像這樣，從第n張牌開始，每隔n－1張牌翻牌，直到沒有可翻動的牌爲止。

求當所有牌不再變動時，所有背面朝上的牌的數字。

思路：

這道題思路有很多種：

思路1
設i爲輪次，從1開始，到99結束。設j爲牌的下標。
每一輪都按題意找到對應下標的牌逐個進行翻轉。

思路2
設i爲輪次，從1開始，到99結束；設j爲牌的下標。
每一輪都對符合要求的所有牌進行翻轉。

思路3
牌只有在偶數次翻轉時纔會背面朝上。
而牌翻轉的時機是：步長爲該牌面的約數時，這一點不太好理解，舉例說明。
如：4號牌，初始是背面朝上，
第1輪，從2號牌開始，步長爲2，4號牌被翻動，正面朝上；
第2輪，從3號牌開始，步長爲3，4號牌不被翻動；
第3輪，從4號牌開始，步長爲4，4號牌被翻動，背面朝上；
以後不會再被翻動

可以看到，當步長爲2，4時，4號牌都會發生翻動，而2，4都是4的約數。

如：6號牌，初始是背面朝上，
第1輪，從2號牌開始，步長爲2，6號牌被翻動，正面朝上；
第2輪，從3號牌開始，步長爲3，6號牌被翻動，背面朝上；
第3輪，從4號牌開始，步長爲4，6號牌不被翻動；
第4輪，從5號牌開始，步長爲5，6號牌不被翻動；
第5輪，從6號牌開始，步長爲6，6號牌被翻動，正面朝上；
以後不會再被翻動

可以看到，當步長爲2，3，6時，6號牌都會發生翻動，而2，3，6都是6的約數。
如果算上1這個所有自然數的約數，那隻要約數的個數是奇數個，最終都會背面朝上。

還可以繼續歸納：

比如：
12號牌，約數爲1，2，3，4，6，12，共有6個約數，最終是正面朝上；
16號牌，約數爲1，2，4，8，16，共用有5個約數，最終是背面朝上；
25號牌，約數爲1，5，25，共有3個約數，最終是背面朝上；
注意到，所有背面朝上的牌4，16，25，它們都是平方數。
所以這道題最終就變成了找出1-100中所有的平方數。

解答：

以下按上述三條思路分別給出PHP和Golang的代碼

PHP

// 按順序進行翻牌，i爲牌下標，j爲牌下標+步長
function flip1()
{
    $size = 100;
    $cards = array_fill(0, $size, 0); // 初始化數組

    // i爲輪次
    for ($i = 1; $i <= $size; $i++) {
        // 如果當前的牌是正面，就翻過來；反之亦然。
        // 每輪步長增長爲i+1，
        // 例如：
        // 第一輪起始下標是1，步長是2(=1+1)，翻1，3，5...下標的牌
        // 第二輪起始下標是2，步長是3(=2+1)，翻2，5，8...下標的牌
        // 以此類推
        for ($j = $i; $j < $size; $j += $i + 1) {
            $cards[$j] = !$cards[$j];
        }
    }
    output($cards);
}

// i爲輪次,j爲牌下標
// 第1輪：2，4，6...100的牌被翻轉,對應的下標爲1,2,3...99,(j+1)%(1+1)==0
// 第2輪：3, 6, 9...99的牌被翻轉，對應的下標爲2,5,8...98,(j+1)%(2+1)==0
// 以此類推，得到公式，(j+1)%(i+1)==0時，牌都會翻轉
function flip2()
{
    $size = 100;
    $cards = array_fill(0, $size, 0); // 初始化數組
    for ($i = 1; $i < $size; $i++) {
        for ($j = 1; $j < $size; $j++) {
            if (($j + 1) % ($i + 1) == 0) {
                $cards[$j] = !$cards[$j];
            }
        }
    }
    output($cards);
}

// 當牌i翻轉爲偶數次時，即爲背面朝上
// 當j爲i的約數時，會觸發一次i的翻轉
// 比如：牌4，會在約數爲1，2，4時被翻轉
// 但所有的牌都是從約數爲2開始翻，所以排除掉約數1的情況
// 此時，4號牌只翻轉了2次，符合偶數次翻轉的情況，所以其最終是背面朝上
function flip3()
{
    $size = 100;
    $tmp = array();

    // i爲牌面，數字爲1-100的100張牌
    for ($i = 1; $i <= $size; $i++) {
        $flag = false;

        // j爲步長
        for ($j = 2; $j <= $size; $j++) {
            if ($i % $j == 0) {
                $flag = !$flag;
            }
        }

        if ($flag == false) {
            $tmp[] = $i;
        }
    }
    echo implode(' ', $tmp) . "\n";
}

function output($cards)
{
    foreach ($cards as $key => $val) {
        if (!$val) {
            echo $key + 1;
            echo " ";
        }
    }
    echo "\n";
}

flip1();
flip2();
flip3();

輸出

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Golang

package main

import "fmt"

var size = 100 // 牌數

func main() {
    Flip1()
    Flip2()
    Flip3()
}

// 初始化數據
func initCards() []bool {
    var cards []bool // 存放每張牌的狀態
    for i := 0; i < size; i++ {
        cards = append(cards, false)
    }
    return cards
}

// 翻牌算法1
func Flip1() {
    cards := initCards()
    for i := 1; i < size; i++ {
        for j := i; j < size; j += i + 1 {
            cards[j] = !cards[j]
        }
    }
    PrintCards(cards)
}

// 翻牌算法2
func Flip2() {
    cards := initCards()
    for i := 1; i < size; i++ {
        for j := i; j < size; j++ {
            if (j+1)%(i+1) == 0 {
                cards[j] = !cards[j]
            }
        }
    }
    PrintCards(cards)
}

// 翻牌算法3
func Flip3() {
    var cards []int
    for i := 1; i <= size; i++ {
        flag := false
        for j := 2; j <= size; j++ {
            if i%j == 0 {
                flag = !flag
            }
        }
        if flag == false {
            cards = append(cards, i)
        }
    }
    fmt.Println(cards)
}

// 輸出牌面
func PrintCards(cards []bool) {
    var results []int
    for i := 0; i < size; i++ {
        if cards[i] == false {
            results = append(results, i+1)
        }
    }
    fmt.Println(results)
}

輸出

[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]
[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]
[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]