每週一道算法題005：切木棒

問題：

假設要把長度爲n釐米的木棒切分爲1釐米長的小段，但是1根木棒只能由1人切分，當木棒被切分爲3段後，可以同時由3個人分別切分木棒。求最多有m個人時，最少要切分幾次。

譬如n＝8，m＝3時如下圖所示，切分4次就可以了。

求當n＝20，m＝3時的最少切分次數。
求當n＝100，m＝5時的最少切分次數。

思路：

這道題最難的不是算法，而是理解題意。
木棒剛開始只有1根，題目規定“1根木棒只能由1人切分”，此時由1人切分後，變成2根；
2根木棒再做切分，也要滿足“1根木棒只能由1人切分”的規則，所以此時由2個人，每人切1根，變成了4根；
隨後，題目說“當木棒被切分爲3段後，可以同時由3個人分別切分木棒”，也就是說，
當木棒根數達到上限人數後，每一次便只能切分出上限人數的根數了。
而在這之前，每次都有足夠的人切木棒，每次也都是一分爲二，木棒的數量都是翻倍遞增

用文字來描述便是：

當前木棒數量 >= 人數上限時，新木棒數量 = 原有木棒數量 + 上限人數；
當前木棒數量 < 人數上限時，新木棒數量 = 原有木棒數量 * 2；
當新木棒數量大於等於木棒長度時，切分結束。

此題可以用遞歸和循環兩種方法來解。

遞歸：

遞歸的結束條件便是current（當前的木棒數）>= n （木棒長度）。
當current （當前的木棒數）< m（人數上限）時，current = current * 2。
當current（當前的木棒數）>= m （人數上限）時，current = current + m;
每次遞歸時，就將當前木棒數通過參數傳入下一次遞歸中，直至滿足退出條件。

循環：

循環的結束條件與遞歸一樣，也是當current（當前的木棒數）>= n （木棒長度）時退出，即是current < n時一直執行循環。
當current （當前的木棒數）< m（人數上限）時，current = current + current。
當current（當前的木棒數）>= m （人數上限）時，current = current + m;
每執行一次循環，count（循環計數，即切分次數）加1。

解答：

php

// 遞歸
// m 爲上限人數
// n 爲木棒長度
// current 爲當前木棒數量
function cutBar($m, $n, $current)
{
    if ($current >= $n) {
        return 0;
    } elseif ($current < $m) {
        return 1 + cutBar($m, $n, $current * 2);
    } else {
        return 1 + cutBar($m, $n, $current + $m);
    }
}

// 循環
function cutBar2($m, $n)
{
    $current = 1;// 初始木棒數
    $count = 0; // 切分計數
    while ($current < $n) {
        $current += $current < $m ? $current : $m;
        $count++;
    }
    return $count;
}

$rs = cutBar(3, 8, 1);
echo $rs."\n";

$rs = cutBar(3, 20, 1);
echo $rs."\n";

$rs = cutBar(5, 100, 1);
echo $rs."\n";

$rs = cutBar2(3, 8);
echo $rs."\n";

$rs = cutBar2(3, 20);
echo $rs."\n";

$rs = cutBar2(5, 100);
echo $rs."\n";

輸出：

4
8
22
4
8
22

golang

package main

import "fmt"

func main() {
    rs := cutBar(3, 8, 1)
    fmt.Println(rs)

    rs = cutBar(3, 20, 1)
    fmt.Println(rs)

    rs = cutBar(5, 100, 1)
    fmt.Println(rs)

    rs = cutBar2(3, 8)
    fmt.Println(rs)

    rs = cutBar2(3, 20)
    fmt.Println(rs)

    rs = cutBar2(5, 100)
    fmt.Println(rs)
}

func cutBar(m, n, current int) int {
    if current >= n {
        return 0
    } else if current < m {
        return 1 + cutBar(m, n, current*2)
    } else {
        return 1 + cutBar(m, n, current+m)
    }
}

func cutBar2(m, n int) int {
    current := 1
    count := 0
    for current < n {
        if current < m {
            current += current
        } else {
            current += m
        }
        count++
    }
    return count
}

輸出：

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8
22
4
8
22