杠上数据结构 - 树

线性与非线性

线性： 指的是元素之间是 “一对一” 的关系，比如只有唯一 一个"前驱"和唯一一个"后继"。

非线性： 指的是元素之间是一对多的关系，比如 “树” 中节点可能有多个孩子节点，“图” 中可能有多个元素与之关联。

树

树是一种非线性的数据结构，是由 n （n >= 0）个节点组成的有限集合。如果 n = 0，则树是空树。除了根节点外，其余节点被分成 M (M > 0) 个互不相交的集合 T1, T2, T3,……Tn, 其中每一个集合又是一棵结构和树类似的子数，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，有 0 个或多个后继。

树有关的基本概念：

• 节点： 节点包含数据和指向其他节点的指针。
• 根节点： 树的第一个节点。
• 节点的度： 该节点所拥有的子树的个数。
• 树的度： 树中所有节点的度的最大值称为该树的度。
• 叶子节点： 没有子节点的节点，也称终端节点。
• 父子节点： 一个节点 father 指向另一个节点 child ，则 child 为孩子节点， father 为父节点。
• **兄弟节点：**具有相同父节点的节点互为兄弟节点。
• 祖先节点： 从根节点开到该节点所经过的所有节点都是该节点的祖先。
• 子孙节点： 以某节点为根的子树中任意一个节点都称为该节点的子孙节点。
• 树的高度： 树中距离根节点最远节点的路径长度。

树的存储结构

1. 双亲表示法
2. 孩子表示法
3. 孩子兄弟表示法

1. 双亲表示法

以一组地址连续的空间(数组)存储树的节点，同时在每个节点中，附设一个指示器指示其双亲节点在数组中的位置。

下标	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	0
4	E	1
5	F	2
6	G	3
7	H	3

二叉树

二叉树： 二叉树的每个节点至多只有二棵子树，子树有左右之分且顺序不能颠倒，左的称为 左子树，右边的称为右子树。

二叉树特点

• 每个节点至多有两棵子树，即二叉树中不存在度大于2 的节点。

• 二叉树的子树有左右之分，且子树的次序不能颠倒。

• 二叉树第 i 层上的节点数目最多为 $2^{i-1} (i>=1)$

• 深度为 k 的二叉树至多有 $2^k - 1$ 个节点 (k >=1)

• 包含 n 个节点的二叉树的高度至少为 $log2(n+1)$

• 在任意一个二叉树中，若叶子节点的个数为 n , 度为 2 的节点的个数为 m , 则 n= m +1

二叉树的种类

(1) 斜树

(2) 满二叉树

叶子节点都在同一层，并且除了叶子节点外的所有节点都有两个子节点。

(3) 完全二叉树

对于一颗二叉树，假设起深度为 d (d > 1) , 除了第 d 层外的所有节点构成满二叉树，且第 d 层所有节点从左向右连续的紧密排列，这样的二叉树称为完全二叉树。

（4）平衡二叉树

它是一颗空树或 他的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1， 并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树，同时，平衡二叉树必定是二叉搜索树。

（5）二叉查找树

若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；

若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；

任意节点的左，右子树也分别为 二叉查找树。