網易2019筆試題-牛牛的揹包

題目解析

1. 核心思路
   物品有n個，每個體積爲 v[i]，揹包體積爲 w. 每個物品有兩種選擇：放進揹包，不放進揹包。
   狀態設計：f(i,j):物品爲前i個物品，揹包體積爲j，一共多少种放法。
   狀態轉移：
   如果第i個物品放進揹包：f(i-1,j-v[i])
   如果第i個物品不放進揹包：f(i-1,j)
   因此：
   f(i,j) = f(i-1,j-v[i]) + f(i-1,j)

2. 難點分析：本題的數據量太大，1 <= w <= 2 * 10^9，空間消耗太大。同時，1 <= n <= 30，可以考慮時間換空間，用函數遞歸。

3. 優化時間複雜度
   不作優化，AC率爲80%。
   設 total 爲所有物品體積之和，如果 total <= w，直接返回 2^n. 優化後，時間大幅降低，爲 4ms.

4. C++代碼

#include <iostream>
#include<math.h>

using namespace std;
int n, v[32];   // n 表示物品的數量，v表示每個物品的體積
int w;  // 揹包的容量
typedef long long bint;
bint f(int n, int w) // n 表示前 n 個物品， w 表示 揹包體積
{
    if( w ==0 ) return 1;
    if( n == 1 ) {
        if( w < v[n] )
            return 1;   // 不放
        else
            return 2;
    }
    else if( w >= v[n] )
        return f(n-1,w) + f(n-1,w-v[n]);
    else
        return f(n-1,w);
}


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&w);
    bint total = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&v[i+1]);   // 下標從1開始
        total += v[i+1];
    }

    /************** 揹包問題：多少種方法 ****************/
    // dp[i][j]: 使用前i個物品，揹包體積爲j時，有多少种放法
    // 狀態轉移方程：
    // 如果第 i 個物品放進去，  有 dp[i-1][j-v[i]] 种放法
    // 如果第 i 個物品不放進去，有 dp[i-1][j] 种放法
    // dp[i][j] =  dp[i-1][j-v[i]] + dp[i-1][j]
    // 初始化：
    // if j =0, dp[i][j] = 1
    // if i =1, 討論 v[1] 和 j 之間的關係
    bint rs =0;
    if( total <= w )
       rs = (bint)pow(2,n);
    else
       rs = f(n,w);

    cout << rs << endl;

    return 0;
}