快速冪

快速冪

個人博客：https://sgeekioi.github.io/2019/07/31/fastpower/#more

【介紹】

顧名思義，快速冪就是快速算底數的n次冪。其時間複雜度爲 O(log₂N)， 與樸素的O(N)相比效率有了極大的提高。

【描述】

計算a的n次方就是將n個a乘起來$a^n = \underbrace{a \times a \times a...\times a}_{\text{n個a}}$。但是，當n的值特別大的時候，這種累乘的方法就不合適了。不過，由結合律我們知道$a^b + a^c = a^{bc} , a^b \times a^b= a^{2b} = {a^b}^2$。二進制取冪的想法是，我們將取冪的任務按照指數的二進制表示來分割成更小的任務。我們來舉個例子

11的二進制數爲 1011。 對進制不太理解的戳這裏

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ 3^{11} = 3^{10…

上面這個算式是怎麼來的呢。看下面

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ 3^1 = {3^2}^0 …

也就是爲了計算$3^{11}$,我們只需要將二進制位對應爲1的整係數冪乘起來就行了：

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ 3^{11} = 3 \ti…

將上述過程說的形式化一些，如果把n寫作二進制爲$(n_1n_{t-1}…n_12^1+n_02^0)$,那麼有：

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ n=n_t2^t+n_{t-…
其中$n \epsilon 0,1$ 。那麼就有

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ a^n=(a^{n_t2^t…

根據上式我們發現，原問題被我轉換成了形式相同的子問題的乘積，並且我們可以在常數時間內從$2^i$項推出$2^{i+1}$項。這個算法的複雜度是$O(log_2n)$的。

##【代碼實現】

遞歸方法

public double power1(double a, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        double res = power(a,n/2);
        if((n%2)==1){
            return res * res * a;
        }else{
            return res * res;
        }
    }

非遞歸式

它在循環的過程將二進制爲1時對應的冪累乘到答案中。儘管兩者的理論複雜度相同，但第二種在實踐過程中的速度會比遞歸式更快的，因爲遞歸會重複運算花費一定開銷。

public double power2(double a,int n){
        double res = 1;
        while (n>0){
            if((n&1)==1){
                res*=a;
            }
            a*=a;
            n>>=1;
        }
        return res;
    }