數據結構之樹的應用——赫夫曼編碼

前言

樹是一個比較高級的數據結構，他的應用也有很多，程傑老師的書中舉了一個很典型的應用：赫夫曼編碼。
在計算機和互聯網技術中，文本壓縮是一個非常重要的技術。它除了可以減少文檔在磁盤的空間外，在網絡上以壓縮的形式傳輸數據，使得保存和傳遞都更加高效。
壓縮而不出錯，就是把我們的文本進行重新編碼，以減少不必要的空間。最基本的編碼方法：赫夫曼編碼。

1.赫夫曼樹定義及其原理

我們先看一個例子，試卷分數按百分制再給出五級分製成績，而好的試卷應該讓學生都處於中等或良好的範圍內，如圖：

分數	0～59	60～69	70～79	80～89	90～100
等級	A	B	C	D	E
所佔比例	5%	15%	40%	30%	10%

下面代碼實現了按百分制再給出五級分製成績的轉換：

if(a < 60)
	b = “A”;
else if(a < 70)
	b = “B”;
else if(a < 80)
	b = “C”;
else if(a < 90)
	b = “D”;
else
	b = “E”;

但是由於每個等級所佔百分比不同，這樣算效率是有問題的：

把二叉樹簡化成葉子結點帶權的二叉樹（注意這裏的權是什麼）

有沒有好的方法，把這顆二叉樹重新分配：

這樣效率就要高一點了
樹a路徑長度：1+1+2+2+3+3+4+4=20
樹b路徑長度：1+2+3+3+2+1+2+2=16
樹a的WPL：51+152+403+304+104=315
樹b的WPL：53+153+402+302+102=220

判斷比較方式少了三分之一量

2.得出赫夫曼（最優）二叉樹的方法

1. 選取兩個權值最小的樹作爲左右子樹構造一顆新的二叉樹，且置新的二叉樹的根節點的權值爲左右子樹權值之和。
2. 依次重複
3. 圖解：
   按權值從大到小排成有序序列：
   A5， E10， B15， D30， C40
   依次選出最小的兩個：
   N115， B15， D30， C40
   N230， D30， C40
   C40， N360
   T100（根結點)
   
   不過現實複雜的多，在這棵樹每個結點都需要兩次比較。當然這不是我們要討論的重點了。

3.赫夫曼編碼：

爲了解決遠距離通信（主要是電報）的數據傳輸的最優化問題
假設只傳輸剛開始幾個字母，出現的頻率（權值）如表：

字母	A	B	C	D	E	F
二進制字符	000	001	010	011	100	101
頻率	27	8	15	15	30	5

下圖左圖爲構造赫夫曼過程的權值顯示，右圖將左權值改爲0，右權值改爲1：

此時，我們對這六個字母從樹根到葉子所經過的路徑的0或1編碼，得到下表：

字母	A	B	C	D	E	F
編碼	01	1001	101	00	11	1000

這種叫做前綴編碼，任一字母的編碼都不是另一個字符編碼的前綴，很好的解決了網絡傳輸速度的問題。這就是赫夫曼編碼。

後記

以上就是樹的各種儲存結構，喜歡的多多支持哦~