【Hardware】【史密斯圓圖】

原創

2019-08-10 06:24

史密斯圓圖是什麼：

該圖表由菲利普·史密斯於1939年發明，史密斯曾說過，“在我能夠使用計算尺的時候，我對以圖表方式來表達數學上的關聯很有興趣”

其中 T 代表反射係數（reflection coefficient）。
Zl是歸一阻抗值，即 ZL/Z0。ZL爲傳輸線路的阻抗值，Z0爲傳輸線的特徵阻抗，通常爲50ohm。

史密斯圓圖如何產生：

也許是受到黎曼幾何的啓發，將一個平面座標系掰彎成一個圓形座標系。用一個圓形表示一個無窮大的平面。

什麼是無窮大平面：

首先複習下電阻、電容、電感的概念。

在電路中對電流起阻礙作用的叫阻抗，用Z表示，是一個複數，實部爲電阻，虛部爲電抗。
電容在電路中對交流電所起的阻礙作用稱之爲容抗，電感在電路中對交流作用所起的阻礙作用稱之爲感抗，二者合稱爲電抗。

電阻：R
容抗：Z = 1/jwC
感抗：Z = jwL
Z = R + i(wL - 1/wC)，即電阻+感抗+容抗；
1）如果 wL - 1/wC > 0，則稱之爲感性負載；
2）如果 wL - 1/wC < 0，則稱之爲容性負載；

我們知道，電路中阻抗不僅能改變電壓的幅值，也能改變電壓的相位。
如此，我們在一個複平面內，X軸爲實部，Y軸爲虛部，可以表示任意一個阻抗值。

舉例如下：RLC串聯電路中，交流電壓 U=220V，頻率 f=50Hz，R=30R， L=445mH，C=32mF。
1）XL = 2πfL = 140R，XC = 1/2πfC = 100R；
|Z| = (R^2 + (XL - XC)^2 )^0.5 = 50R
I = U/|Z| = 4.4A
2）UR = RI = 132V， UL = XLI = 616V， UC = XCI = 440V；
3）θ = arctan((XL - XC)/R) = arctan(40/30) = 53.1°；
即，總電壓超前總電流 53.1° ，電路呈現感性。

任意一個阻抗的計算結果，我們都可以放在這個複平面內，而各種的阻抗情況，組成了一個無窮大的平面。

反射公式：

信號沿傳輸線向前傳播，每時每刻都會感受到一個瞬態阻抗。如果這個瞬態阻抗是恆定的，那麼它會繼續向前傳播；如果這個瞬態阻抗發生變化，無論是什麼引起的，無論如何變化，信號都會發生髮射。

衡量反射的重要指標爲：反射係數，用於表示反射電壓和原傳輸信號電壓的比值：

Z0爲傳輸線特徵阻抗（我們假定爲恆定的50歐姆），Zin爲信號遇到的瞬時阻抗，假設其爲100歐姆，則：

T = （100 - 50）/（100 + 50）= 1/3，即信號約有三分之一被反射。

如果傳輸信號電壓爲 3.3V，則有 1.1V的電壓被反射。

純電阻性負載是我們研究反射的基礎，阻性負載主要分爲四種情況：
1）阻抗增加；2）阻抗減小；3）開路；4）短路（阻抗突然變爲0）。

《信號完整性》書中有對反射過程的完整介紹，截一圖如下：

初始電壓，即源端電壓Vs（2V）經過Zs（25R）和傳輸線阻抗（50R）分壓，Vinitial = 1.33V
後續反射按照反射係數公式計算如下：

源端反射：源端阻抗（25R）和傳輸線阻抗（50R），反射係數爲 0.33；
終端反射：終端阻抗（無窮大）和傳輸線阻抗（50R），反射係數爲 1；

按照每次反射的幅度和時延，將波形疊加得到如下波形圖，此爲阻抗不匹配造成的信號完整性不好的結果：

如此，我們就定義 Z0 = 50R，根據反射公式，得到一個重要的結論如下：

每一個Zin對應一個唯一的反射係數T。接下來，我們把對應關係映射到之前提及的複平面。
Z = ZL/Z0 = (R+jX)/Z0 = r + jx，其中 r = R/Z0，x = X/Z0。
則反射公式對應爲：T = Ti + Tj = （ZL - Z0）/（ZL + Z0）=（z-1）/（z+1）=（r+jx-1）/（r+jx+1）。
讓我們忘記Zin，只記得z和反射系統T。