FHQ Treap入門教程（含洛谷P3369 & LOJ#104 普通平衡樹題解qwq）

前置技能

二叉搜索樹
堆

前置技能有旋轉treap？不存在的（我到現在仍然不會旋轉的treap qwq）

Treap簡介

引用維基百科上一句精闢的話：Treap=Tree+Heap
在Treap上需要維護兩個值：一個優先級$pri$，一個節點權值$val$。
其中優先級取隨機數，滿足小根堆的性質。節點權值滿足二叉搜索樹的性質。
即每個節點的$pri$值均小於左、右孩子的$pri$值，每個節點的左子樹的$val$均小於這個節點的$val$值，右子樹的$val$大於這個節點的$val$值。
示例：

顯然，Treap的每棵子樹都是一棵Treap。
珂以證明（雖然我不會證qwq），Treap的樹高爲$logn$。
普通的Treap是通過旋轉來維護其性質的，而FHQ Treap通過合併(Merge)和分裂(Split)來維護qwq。

Merge操作

比如要合併兩棵分別以$x,y$爲根的樹，假設$x$的$val$值<=$y$的$val$值。
然後按優先級決定誰是根qwq，當$x$的$pri$值比$y$的$pri$值小時，$x$爲新的根，否則$y$爲新的根，這樣珂以使$pri$仍然滿足小根堆的性質。
當$x$的$pri$值更小時，$x$的$val$值小於$y$的$val$值，根據二叉搜索樹的性質，應該把$y$放到右子樹中。因此把$x$的右孩子與$y$合併。
當$y$的$pri$值更小時，$x$的$val$值小於$y$的$val$值，所以應該把$x$放到左子樹中，因此把$y$的左孩子與$x$合併。
最後需要更新根節點的$siz$值qwq（即子樹內的節點個數）

Merge 的毒瘤代碼：

inline void Update(int x) { //更新子樹大小 
    tree[x].siz=tree[lc(x)].siz+tree[rc(x)].siz+1;
}
int Merge(int x,int y) {
    //合併以x和y爲根的樹 
    if(!x || !y)    return x+y;
    //用優先級決定新的根是x還是y 
    if(tree[x].pri<tree[y].pri) {
		rc(x)=Merge(rc(x),y);
        Update(x);
        return x;
    } else {
		lc(y)=Merge(x,lc(y));
        Update(y);
        return y;
    }
}

Split操作

這裏講述的是把一棵樹按權值分爲兩棵子樹的方法。
假設要把$i$的子樹中權值$&lt;=k$的分到以$x$爲根的Treap中，剩下的權值$&gt;k$的分到以$y$爲根的Treap中。
當$i$的權值$&lt;=k$時，根據二叉搜索樹的性質，$i$的左子樹中的所有節點權值均$&lt;=k$。
所以把$i$和$i$的左子樹內的所有節點都分給$x$，然後遞歸把$i$的右子樹中$&lt;=k$的分到$x$的右子樹（這樣仍然滿足$val$爲二叉搜索樹的性質），$i$的右子樹中$&gt;k$的分給$y$即可。
當$i$的權值$&gt;k$時，$i$的右子樹中的所有節點權值均$&gt;k$。
同理，把$i$和$i$右子樹內的所有節點均分給$y$，然後遞歸把$i$的左子樹中的$&gt;k$的分到$y$的左子樹，$i$的左子樹中$&lt;=k$的分給$x$即可qwq。

Split 的毒瘤代碼：

void Split(int i,int k,int &x,int &y) {
    //把以i爲根的樹分成以x爲根和以y爲根的樹 
    //把所有權值<=k的分到x中，>k的分到y中 
    if(!i) {
        //若i爲空節點，則x和y也爲空 
        x=y=0;
    } else {
        if(tree[i].val<=k) {
        	//這裏先讓x=i，然後遞歸下去就把i的右子樹中<=k的分到了rc(x) 
            x=i;
            Split(rc(i),k,rc(x),y);
        } else {
            //同理 
            y=i;
            Split(lc(i),k,x,lc(y));
        }
        Update(i);	//記得更新子樹大小 
    }
}

找權值第k大

因爲Treap的$val$滿足二叉搜索樹性質，所以類似地按照二叉搜索樹的方法找即可。
比較巧妙的一點是：$tree[lc(i)].siz+1$表示左子樹加上根這個節點的總節點數qwq。
代碼：

int kth(int i,int k) {
    //找到i的子樹中val第k大的點的下標 
    while(true) {
        if(k<=tree[lc(i)].siz) {
            //若k比左子樹大小還小 
            //則第k大顯然在左子樹中 
            i=lc(i);
        } else if(k>tree[lc(i)].siz+1) {
            //同理 
            k-=tree[lc(i)].siz+1;
            i=rc(i);
        } else {
            return i;
        }
    }
}

另外放一個新建節點的New函數代碼：

inline int New(int v) {   //新建節點並返回其下標 
    tree[++tot].val=v;
    tree[tot].pri=rand();
    tree[tot].siz=1;
    return tot;
}

例題

洛谷P3369 【模板】普通平衡樹
即 LOJ #104 普通平衡樹

您需要寫一種數據結構（可參考題目標題），來維護一些數，其中需要提供以下操作：
1.插入$x$數
2.刪除$x$數（若有多個相同的數，因只刪除一個）
3.查詢$x$數的排名（排名定義爲比當前數小的數的個數+1。若有多個相同的數，因輸出最小的排名）
4.查詢排名爲$x$的數
5.求$x$的前驅（前驅定義爲小於$x$，且最大的數）
6.求$x$的後繼（後繼定義爲大於$x$，且最小的數）

這裏講一下操作1和操作2，其他操作比較簡單，看代碼註釋就珂以了qwq（我不會告訴你只是我懶得寫qwq）

操作1：

因爲Merge操作是需要$x$的權值$&lt;=y$的權值，所以不能直接New一個節點然後直接大莉Merge qwq。
假設當前需要插入的節點權值爲num，我們考慮把這棵Treap按照權值分爲兩棵樹，權值$&lt;=num$的分到$x$，$&gt;num$的分到$y$。
所以珂以把$x$和New得到的節點合併，再把得到的結果與$y$合併。

操作2：

假設要刪掉一個權值爲$num$的節點。
這裏珂以考慮把所有權值爲$num$的節點分到一棵樹中，然後刪根節點。
具體實現方法：把所有權值$&lt;=num$的節點分到$x$，權值$&gt;num$的分到$z$。
然後把$\color{red}z中$權值$&lt;=num-1$的分到$x$，權值$&gt;=num$的分到$y$。
不難發現這樣$y$中存的都是權值爲$num$的點，此時把根節點刪掉即可qwq

例題代碼

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define re register int
#define lc(x) tree[x].ls
#define rc(x) tree[x].rs
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {
    re x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9') {
        x=10*x+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
const int Size=200005;
struct node {
    int ls,rs;  //左右孩子 
    int val;    //權值，左<根<右 
    int pri;    //優先級，維護小根堆 
    int siz;    //子樹大小 
} tree[Size];
int n,tot;
inline void Update(int x) { //更新子樹大小 
    tree[x].siz=tree[lc(x)].siz+tree[rc(x)].siz+1;
}
inline int New(int v) {   //新建節點並返回其下標 
    tree[++tot].val=v;
    tree[tot].pri=rand();
    tree[tot].siz=1;
    return tot;
}
int Merge(int x,int y) {
    //合併以x和y爲根的樹 
    if(!x || !y)    return x+y;
    //用優先級決定新的根是x還是y 
    if(tree[x].pri<tree[y].pri) {
		rc(x)=Merge(rc(x),y);
        Update(x);
        return x;
    } else {
		lc(y)=Merge(x,lc(y));
        Update(y);
        return y;
    }
}
void Split(int i,int k,int &x,int &y) {
    //把以i爲根的樹分成以x爲根和以y爲根的樹 
    //把所有權值<=k的分到x中，>k的分到y中 
    if(!i) {
        //若i爲空節點，則x和y也爲空 
        x=y=0;
    } else {
        if(tree[i].val<=k) {
        	//這裏先讓x=i，然後遞歸下去就把i的右子樹中<=k的分到了rc(x) 
            x=i;
            Split(rc(i),k,rc(x),y);
        } else {
            //同理 
            y=i;
            Split(lc(i),k,x,lc(y));
        }
        Update(i);	//記得更新子樹大小 
    }
}
int kth(int i,int k) {
    //找到i的子樹中val第k大的點的下標 
    while(true) {
        if(k<=tree[lc(i)].siz) {
            //若k比左子樹大小還小 
            //則第k大顯然在左子樹中 
            i=lc(i);
        } else if(k>tree[lc(i)].siz+1) {
            //同理 
            k-=tree[lc(i)].siz+1;
            i=rc(i);
        } else {
            return i;
        }
    }
}
inline int Get_K(int rt,int rk) {
    //得到第k大的點的權值 
    return tree[kth(rt,rk)].val;
}
int main() {
    //暴力**不可避 
    srand(19260817);
    n=read();
    int root=0;
    int x=0,y=0,z=0;
    while(n--) {
        int op=read();
        int num=read();
        if(op==1) {
            //插入num 
            Split(root,num,x,y);
            root=Merge(Merge(x,New(num)),y);
        } else if(op==2) {
            //刪除num 
            Split(root,num,x,z);
            //此時x中存了所有權值<=num的點 
            Split(x,num-1,x,y);
            //此時x中存了所有權值<=num-1的點 
            //因此y中存了所有權值爲num的點 
            //然後把y的根節點刪掉 
            y=Merge(lc(y),rc(y));
            root=Merge(Merge(x,y),z);
        } else if(op==3) {
            //查詢num的排名 
            //x中存的是所有權值<=num-1的點 
            Split(root,num-1,x,y);
            //因此x的大小+1就是num的排名 
            printf("%d\n",tree[x].siz+1);
            root=Merge(x,y);
        } else if(op==4) {
            //查詢第num小的數 
            printf("%d\n",Get_K(root,num));
        } else if(op==5) {
            //查詢num的前驅 
            //x存的是所有權值<=num-1的點 
            //x中第(x子樹大小)小的點就是num前驅
            Split(root,num-1,x,y);
            printf("%d\n",Get_K(x,tree[x].siz));
            root=Merge(x,y);
        } else {
            //x的後繼（基本同理） 
            //y存的是所有權值>num的點 
            //因此y中第一小的就是num前驅 
            Split(root,num,x,y);
            printf("%d\n",Get_K(y,1));
            root=Merge(x,y);
        }
    }
    return 0;
}

其他題

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