FHQ Treap入门教程（含洛谷P3369 & LOJ#104 普通平衡树题解qwq）

前置技能

二叉搜索树
堆

前置技能有旋转treap？不存在的（我到现在仍然不会旋转的treap qwq）

Treap简介

引用维基百科上一句精辟的话：Treap=Tree+Heap
在Treap上需要维护两个值：一个优先级$pri$，一个节点权值$val$。
其中优先级取随机数，满足小根堆的性质。节点权值满足二叉搜索树的性质。
即每个节点的$pri$值均小于左、右孩子的$pri$值，每个节点的左子树的$val$均小于这个节点的$val$值，右子树的$val$大于这个节点的$val$值。
示例：

显然，Treap的每棵子树都是一棵Treap。
珂以证明（虽然我不会证qwq），Treap的树高为$logn$。
普通的Treap是通过旋转来维护其性质的，而FHQ Treap通过合并(Merge)和分裂(Split)来维护qwq。

Merge操作

比如要合并两棵分别以$x,y$为根的树，假设$x$的$val$值<=$y$的$val$值。
然后按优先级决定谁是根qwq，当$x$的$pri$值比$y$的$pri$值小时，$x$为新的根，否则$y$为新的根，这样珂以使$pri$仍然满足小根堆的性质。
当$x$的$pri$值更小时，$x$的$val$值小于$y$的$val$值，根据二叉搜索树的性质，应该把$y$放到右子树中。因此把$x$的右孩子与$y$合并。
当$y$的$pri$值更小时，$x$的$val$值小于$y$的$val$值，所以应该把$x$放到左子树中，因此把$y$的左孩子与$x$合并。
最后需要更新根节点的$siz$值qwq（即子树内的节点个数）

Merge 的毒瘤代码：

inline void Update(int x) { //更新子树大小 
    tree[x].siz=tree[lc(x)].siz+tree[rc(x)].siz+1;
}
int Merge(int x,int y) {
    //合并以x和y为根的树 
    if(!x || !y)    return x+y;
    //用优先级决定新的根是x还是y 
    if(tree[x].pri<tree[y].pri) {
		rc(x)=Merge(rc(x),y);
        Update(x);
        return x;
    } else {
		lc(y)=Merge(x,lc(y));
        Update(y);
        return y;
    }
}

Split操作

这里讲述的是把一棵树按权值分为两棵子树的方法。
假设要把$i$的子树中权值$&lt;=k$的分到以$x$为根的Treap中，剩下的权值$&gt;k$的分到以$y$为根的Treap中。
当$i$的权值$&lt;=k$时，根据二叉搜索树的性质，$i$的左子树中的所有节点权值均$&lt;=k$。
所以把$i$和$i$的左子树内的所有节点都分给$x$，然后递归把$i$的右子树中$&lt;=k$的分到$x$的右子树（这样仍然满足$val$为二叉搜索树的性质），$i$的右子树中$&gt;k$的分给$y$即可。
当$i$的权值$&gt;k$时，$i$的右子树中的所有节点权值均$&gt;k$。
同理，把$i$和$i$右子树内的所有节点均分给$y$，然后递归把$i$的左子树中的$&gt;k$的分到$y$的左子树，$i$的左子树中$&lt;=k$的分给$x$即可qwq。

Split 的毒瘤代码：

void Split(int i,int k,int &x,int &y) {
    //把以i为根的树分成以x为根和以y为根的树 
    //把所有权值<=k的分到x中，>k的分到y中 
    if(!i) {
        //若i为空节点，则x和y也为空 
        x=y=0;
    } else {
        if(tree[i].val<=k) {
        	//这里先让x=i，然后递归下去就把i的右子树中<=k的分到了rc(x) 
            x=i;
            Split(rc(i),k,rc(x),y);
        } else {
            //同理 
            y=i;
            Split(lc(i),k,x,lc(y));
        }
        Update(i);	//记得更新子树大小 
    }
}

找权值第k大

因为Treap的$val$满足二叉搜索树性质，所以类似地按照二叉搜索树的方法找即可。
比较巧妙的一点是：$tree[lc(i)].siz+1$表示左子树加上根这个节点的总节点数qwq。
代码：

int kth(int i,int k) {
    //找到i的子树中val第k大的点的下标 
    while(true) {
        if(k<=tree[lc(i)].siz) {
            //若k比左子树大小还小 
            //则第k大显然在左子树中 
            i=lc(i);
        } else if(k>tree[lc(i)].siz+1) {
            //同理 
            k-=tree[lc(i)].siz+1;
            i=rc(i);
        } else {
            return i;
        }
    }
}

另外放一个新建节点的New函数代码：

inline int New(int v) {   //新建节点并返回其下标 
    tree[++tot].val=v;
    tree[tot].pri=rand();
    tree[tot].siz=1;
    return tot;
}

例题

洛谷P3369 【模板】普通平衡树
即 LOJ #104 普通平衡树

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1.插入$x$数
2.删除$x$数（若有多个相同的数，因只删除一个）
3.查询$x$数的排名（排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名）
4.查询排名为$x$的数
5.求$x$的前驱（前驱定义为小于$x$，且最大的数）
6.求$x$的后继（后继定义为大于$x$，且最小的数）

这里讲一下操作1和操作2，其他操作比较简单，看代码注释就珂以了qwq（我不会告诉你只是我懒得写qwq）

操作1：

因为Merge操作是需要$x$的权值$&lt;=y$的权值，所以不能直接New一个节点然后直接大莉Merge qwq。
假设当前需要插入的节点权值为num，我们考虑把这棵Treap按照权值分为两棵树，权值$&lt;=num$的分到$x$，$&gt;num$的分到$y$。
所以珂以把$x$和New得到的节点合并，再把得到的结果与$y$合并。

操作2：

假设要删掉一个权值为$num$的节点。
这里珂以考虑把所有权值为$num$的节点分到一棵树中，然后删根节点。
具体实现方法：把所有权值$&lt;=num$的节点分到$x$，权值$&gt;num$的分到$z$。
然后把$\color{red}z中$权值$&lt;=num-1$的分到$x$，权值$&gt;=num$的分到$y$。
不难发现这样$y$中存的都是权值为$num$的点，此时把根节点删掉即可qwq

例题代码

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define re register int
#define lc(x) tree[x].ls
#define rc(x) tree[x].rs
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {
    re x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9') {
        x=10*x+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
const int Size=200005;
struct node {
    int ls,rs;  //左右孩子 
    int val;    //权值，左<根<右 
    int pri;    //优先级，维护小根堆 
    int siz;    //子树大小 
} tree[Size];
int n,tot;
inline void Update(int x) { //更新子树大小 
    tree[x].siz=tree[lc(x)].siz+tree[rc(x)].siz+1;
}
inline int New(int v) {   //新建节点并返回其下标 
    tree[++tot].val=v;
    tree[tot].pri=rand();
    tree[tot].siz=1;
    return tot;
}
int Merge(int x,int y) {
    //合并以x和y为根的树 
    if(!x || !y)    return x+y;
    //用优先级决定新的根是x还是y 
    if(tree[x].pri<tree[y].pri) {
		rc(x)=Merge(rc(x),y);
        Update(x);
        return x;
    } else {
		lc(y)=Merge(x,lc(y));
        Update(y);
        return y;
    }
}
void Split(int i,int k,int &x,int &y) {
    //把以i为根的树分成以x为根和以y为根的树 
    //把所有权值<=k的分到x中，>k的分到y中 
    if(!i) {
        //若i为空节点，则x和y也为空 
        x=y=0;
    } else {
        if(tree[i].val<=k) {
        	//这里先让x=i，然后递归下去就把i的右子树中<=k的分到了rc(x) 
            x=i;
            Split(rc(i),k,rc(x),y);
        } else {
            //同理 
            y=i;
            Split(lc(i),k,x,lc(y));
        }
        Update(i);	//记得更新子树大小 
    }
}
int kth(int i,int k) {
    //找到i的子树中val第k大的点的下标 
    while(true) {
        if(k<=tree[lc(i)].siz) {
            //若k比左子树大小还小 
            //则第k大显然在左子树中 
            i=lc(i);
        } else if(k>tree[lc(i)].siz+1) {
            //同理 
            k-=tree[lc(i)].siz+1;
            i=rc(i);
        } else {
            return i;
        }
    }
}
inline int Get_K(int rt,int rk) {
    //得到第k大的点的权值 
    return tree[kth(rt,rk)].val;
}
int main() {
    //暴力**不可避 
    srand(19260817);
    n=read();
    int root=0;
    int x=0,y=0,z=0;
    while(n--) {
        int op=read();
        int num=read();
        if(op==1) {
            //插入num 
            Split(root,num,x,y);
            root=Merge(Merge(x,New(num)),y);
        } else if(op==2) {
            //删除num 
            Split(root,num,x,z);
            //此时x中存了所有权值<=num的点 
            Split(x,num-1,x,y);
            //此时x中存了所有权值<=num-1的点 
            //因此y中存了所有权值为num的点 
            //然后把y的根节点删掉 
            y=Merge(lc(y),rc(y));
            root=Merge(Merge(x,y),z);
        } else if(op==3) {
            //查询num的排名 
            //x中存的是所有权值<=num-1的点 
            Split(root,num-1,x,y);
            //因此x的大小+1就是num的排名 
            printf("%d\n",tree[x].siz+1);
            root=Merge(x,y);
        } else if(op==4) {
            //查询第num小的数 
            printf("%d\n",Get_K(root,num));
        } else if(op==5) {
            //查询num的前驱 
            //x存的是所有权值<=num-1的点 
            //x中第(x子树大小)小的点就是num前驱
            Split(root,num-1,x,y);
            printf("%d\n",Get_K(x,tree[x].siz));
            root=Merge(x,y);
        } else {
            //x的后继（基本同理） 
            //y存的是所有权值>num的点 
            //因此y中第一小的就是num前驱 
            Split(root,num,x,y);
            printf("%d\n",Get_K(y,1));
            root=Merge(x,y);
        }
    }
    return 0;
}

其他题

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