嚴格遞增和非嚴格遞增最長遞增子序列長度

嚴格遞增

最長遞增子序列，給定一個無序整數數組nums（字符串也可以，不重要），給出最長嚴格遞增子序列的長度。比如輸入[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]，輸出3，最長遞增子序列[1, 2, 4]，當然可能不唯一，[-1, 1, 4]也是一個，但是並不影響長度。
強行遍歷就不說了，時間複雜度O(2^n)，簡直爆炸。
思路1：動態規劃，建立一個數組dp，dp[i]記錄nums[0:i]的最長遞增子序列的長度。
$dp[i] = max(dp[j]+1)，j∈\{ j | nums[j] < nums[i], 0 <= j < i\}$
輸出max(dp)即可，時間複雜度O(n^2)，空間複雜度O(n)。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {
	if(nums == null) {
		return 0;
	}
	int len = nums.length;
	if(len == 0 || len == 1) {
		return len;
	}
	int maxLen = 1;
	int[] dp = new int[len];
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		dp[i] = 1;
		for(int j = 0; j < i; j++) {
			if(nums[i] > nums[j]) {
				dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);  // 更新dp[i]
				maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);  // 更新最大值
			}
		}
	}
	return maxLen;
}

思路2：動態規劃+二分查找
同樣建立一個數組dp，但是這裏dp記錄的是上升子序列，遍歷nums室，用nums的元素填充dp，填充規則是什麼呢？首先利用二分查找找到nums[i]在dp中應該插入的位置j，若j==當前dp的長度，則在dp末尾插入nums[i]，maxLen加一，否則dp[j]=nums[i]。這裏可能有個疑問，比如說nums[i0]=1放入dp[1]，在後面的遍歷中有一個nums[i1]=-1也需要放入dp[1]，此時不會影響長度的計算嗎？答案是不會，用一個例子比較容易理解。

input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]
dp:[1], maxLen = 1
dp:[1, 2], maxLen = 2
dp:[1, 2], maxLen = 2
dp:[-1, 2], maxLen = 2
dp:[-1, 1], maxLen = 2
dp:[-1, 1, 4], maxLen = 3
dp:[-1, 0, 4], maxLen = 3

這裏[-1, 0, 4]雖然不是一個最長遞增子序列，但是並不會影響maxLen的值。
時間複雜度O(nlgn)，空間複雜度O(n)。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {
	if(nums == null) {
   		return 0;
   	}
 	if(nums.length == 0 || nums.length == 1){
         return nums.length;
    }
    int[] dp = new int[nums.length];
    int maxLen = 0;
    for(int i = 0; i < nums.length; i++){
        int index = findIndex(dp, maxLen, nums[i]);
        dp[index] = nums[i];
        if(index == maxLen)
            maxLen++;
    }
    return maxLen;
}
// 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置
public int findIndex(int[] nums, int len, int target){
    if(len == 0)
        return 0;
    int low = 0;
    int high = len;
    if(target <= nums[low])
        return 0;
    if(target > nums[len-1])
        return len;
    while(low < high){
        int middle = low + (high-low)/2;
        if(target > nums[middle]) // 右邊
            low = middle + 1;
        else 
            high = middle;
    }
    return low;
}

非嚴格遞增

思路1：同嚴格遞增的思路1，只需要在比較的時候加個等號：
$dp[i] = max(dp[j]+1)，j∈\{ j | nums[j] <= nums[i], 0 <= j < i\}$
思路2：基本類似嚴格遞增的思路1，但是這裏插入的規則是要變的，不再是用二分查找插入dp，其插入位置要保證
$dp[i-1] <= dp[i] < dp[i+1]$
邊界情況這裏就不分析了，程序裏也不需要進行分析，只需要求出i即可，同樣求出i==maxLen，maxLen加一。還是通過一個例子來看。

input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]
dp:[1], maxLen = 1
dp:[1, 2], maxLen = 2
dp:[1, 1], maxLen = 2
dp:[-1, 1], maxLen = 2
dp:[-1, 1, 1], maxLen = 3
dp:[-1, 1, 1, 4], maxLen = 4
dp:[-1, 0, 1, 4], maxLen = 4

看出不一樣來了吧，主要是1的插入位置，不在是替換掉前面的1，而是在前面的1的後面放入新的1。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {
   	if(nums == null) {
   		return 0;
   	}
   	int len = nums.length;
   	if(len == 0 || len == 1) {
   		return len;
   	}
   	int[] dp = new int[len];
   	int maxLen = 0;
   	for(int i = 0; i < len; i++) {
   		int tmp = findIndex(dp, maxLen, nums[i]); // 無重複數字時的插入位置
   		int tmp2 = findRIndex(dp, tmp, nums[i]);  // 有重複數字時的插入位置
   		tmp = tmp2 == -1 ? tmp:tmp2;
   		dp[tmp] = nums[i];
   		if(tmp == maxLen)
   			maxLen++;
   	}
   	return maxLen;
   }
// 同嚴格遞增
// 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置
public int findIndex(int[] nums, int len, int target){
    if(len == 0)
        return 0;
    int low = 0;
    int high = len;
    if(target <= nums[low])
        return 0;
    if(target > nums[len-1])
        return len;
    while(low < high){
        int middle = low + (high-low)/2;
        if(target > nums[middle]) // 右邊
            low = middle + 1;
        else 
            high = middle;
    }
    return low;
}
// 返回-1時，正常使用二分查找即可
public int findRIndex(int[] nums, int low, int tar) {
	if(low >= nums.length || low < 0)
		return -1;
	if(nums[low] != tar) { // 說明沒有重複值
		return -1;
	}
	int high = low + 1;
	while(high < nums.length && nums[high] == nums[low]) {
		high++;
	}
	return high;
}