01揹包問題

01揹包

問題描述：有N件商品，第i件商品的重量是weights[i-1]，價值是values[i-1]，揹包容量是cap
則揹包能夠裝物品的最大價值

首先構建一個二維數組dp，dp[i][j]表示第i件物品時揹包容量爲j時的最大價值。
如何求得dp[i][j]：
（1）values[i-1]>j，說明第i件物品不能放入當前容量爲j的揹包，即不放入第i件商品：
$dp[i][j]=dp[i-1][j]$
（2）values[i-1]<=j，則第i件物品可以放入到容量爲j時的揹包中，但是這時候需要考慮放進第i件物品的揹包中物品價值是否比不放時大：
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])$
max中的第一項表示不放，第二項表示放入第i件，放入第i件就需要把揹包騰出至少weights[i-1]的容量，舉個例子：weights = {3, 4, 3, 2, 5};values = {2, 4, 4, 3, 2};當i=2,j=4時，此時需要放入揹包的物品重量爲4，價值爲4，而dp[i-1][j] = 2，所以需要將第一件重量爲3價值爲2的商品拿出，放入第2件商品，即dp[2][4] = dp[1][0]+4 = 4。

/*
* 01揹包：揹包可裝的最大價值
 * @param 商品重量
 * @param 商品價值
 * @param 揹包容量
 */
public int maxValue(int[] weights, int[] values, int cap) {
	if(cap == 0 || weights.length == 0) {
		return 0;
	}
	if(weights.length != values.length) {
		System.out.println("數組長度不一致");
		return -1;
	}
	int num = weights.length;
	int[][] dp = new int[num+1][cap+1];
	for(int i = 1; i <= num; i++) {
		for(int j = 1; j <= cap; j++) {
			if(j < weights[i-1]) {
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
			else {
				dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1]);
			}
		}
	}
	return dp[num][cap];
}

優化

進行優化：
不難看出dp[i][]只和dp[i-1][]有關，因此可以使用兩個一維數組來代替二維數組進行動態規劃的迭代，空間複雜度由O(N*cap)降低爲O(cap)。

public int maxValue(int[] weights, int[] values, int cap) {
	if(cap == 0 || weights.length == 0) {
		return 0;
	}
	if(weights.length != values.length) {
		System.out.println("數組長度不一致");
		return -1;
	}
	int num = weights.length;
	int[] dp1 = new int[cap+1];
	int[] dp2 = new int[cap+1];
	for(int i = 1; i <= num; i++) {
		for(int j = 1; j <= cap; j++) {
			if(j < weights[i-1]) {
				dp2[j] = dp1[j];
			}
			else {
				dp2[j] = Math.max(dp1[j], dp1[j-weights[i-1]]+values[i-1]);
			}
		}
		dp1 = dp2.clone();
	}
	return dp2[cap];
}

實際上還可以進行優化，只使用一個一維數組即可，空間複雜度仍然是O(cap)。不難看出dp2[j]在更新時只和dp1[0…j-1]有關，而不會使用dp1[j…cap]，因此可以逆序對dp2進行更新：

int[] dp2 = new int[cap+1];
for(int i = 1; i <= num; i++) {
	for(int j = cap; j >= 1; j--) {
		if(j < weights[i-1]) {
			dp2[j] = dp2[j];
		}
		else {
			dp2[j] = Math.max(dp2[j], dp2[j-weights[i-1]]+values[i-1]);
		}
	}
}
return dp2[cap];

要求恰好裝滿揹包

上述描述不要求恰好裝滿揹包，如果要求恰好裝滿揹包的前提下，求揹包所能裝物品的最大價值，只需要修改初始化條件即可：j = 0時，dp爲0，其他都爲-∞。

int[] dp2 = new int[cap+1];
for(int i = 1; i <= cap; i++) {
	dp2[i] = Integer.MIN_VALUE;
}

如果無法恰好裝滿揹包，則會返回一個很大的負數。
原因：如果要求恰好裝滿，只有容量爲0的時候什麼也沒裝是恰好裝滿的，而其他容量初始時不符合要求，所以應該賦值爲-∞，從下面的例子可以看出，沒有恰好裝滿時，其價值是一個很大的負數。

揹包容量爲10;
int[] weights = {3, 4, 8, 8, 5};
int[] values = {2, 4, 4, 3, 2};  // 沒有合法解
[0, -2147483648, -2147483648, 2, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646]
[0, -2147483648, -2147483648, 2, 4, -2147483644, -2147483644, 6, -2147483642, -2147483642, -2147483642]
[0, -2147483648, -2147483648, 2, 4, -2147483644, -2147483644, 6, 4, -2147483642, -2147483642]
[0, -2147483648, -2147483648, 2, 4, -2147483644, -2147483644, 6, 4, -2147483642, -2147483642]
[0, -2147483648, -2147483648, 2, 4, 2, -2147483644, 6, 4, 6, -2147483642]

int[] weights =  {3, 4, 3, 2, 5};
int[] values = {2, 4, 4, 3, 2};  // 有解，爲10
[0, -2147483648, -2147483648, 2, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646, -2147483646]
[0, -2147483648, -2147483648, 2, 4, -2147483644, -2147483644, 6, -2147483642, -2147483642, -2147483642]
[0, -2147483648, -2147483648, 4, 4, -2147483644, 6, 8, -2147483640, -2147483640, 10]
[0, -2147483648, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 9, 11, 10]
[0, -2147483648, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 9, 11, 10]