2019南京網絡賽B. super_log--歐拉降冪

我對歐拉降冪的理解(19.4.6)

原題CodeForces 906D Power Tower  有限冪塔函數模板（此題參考）

BZOJ    3884                                         無限次模板

 

一.題意及分析

 

題意：

求log*a(x)>=b，最小x

 

分析：

 

可以看出是單調遞增，顯然取等號，x最小

觀察可知，x>=1,不斷遞歸下去，左邊每次遞歸累加1，右邊log*a(F(x))中F(x)不斷取log，最終x=a時，F(x)=0，此時log*a=-1，加上左邊的1，正好抵消，所以共遞歸了b次（不包含最後一次），最後左邊累加的結果剛好就是b

因此實際求一個冪塔函數：

x = a^a^a^.........^a^a(一共b個a的高階冪)%m；

 

於是用歐拉降冪：（分析見上面，有限個冪塔函數模板題鏈接）

但注意特判a,b,mod=0 or 1

 

二.代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define Mod(a,b) a<b?a:a%b+b						//重定義取模，按照歐拉定理的條件
#define LL long long
#define N 100010
using namespace std;
 
LL n,q,mod,a;
map<LL,LL> mp;
 
LL qpow(LL x,LL n,LL mod)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if (n&1) res=Mod(res*x,mod),n--;
        x=Mod(x*x,mod); n>>=1;
    }
    return res;
}
 
LL phi(LL k)
{
    LL i,s=k,x=k;
    if (mp.count(k)) return mp[x];					//記憶化存儲
    for(i = 2;i * i <= k; i++)
    {
        if(k % i == 0) s = s / i * (i - 1);
        while(k % i == 0) k /= i;
    }
    if(k > 1) s = s / k * (k - 1);
    mp[x]=s; return s;
}
 
LL solve(LL l,LL r,LL mod)
{
    if (l==r||mod==1) return Mod(a,mod);					//如果到右端點或者φ值等於1，那麼直接返回當前數字
    return qpow(a,solve(l+1,r,phi(mod)),mod);			//否則指數爲[l+1,r]區間的結果
}
 
int main()
{
    //scanf("%lld%lld",&n,&mod);
   // for(int i=1;i<=n;i++)
        //scanf("%lld",&a[i]);
    scanf("%lld",&q);
    while(q--)
    {
        LL L,R;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&R,&mod);
        if(mod == 1)//兩句特判必不可少，不然WA
            printf("0\n");
        else if(R== 0 || a == 1)
            printf("1\n");
        else
        printf("%lld\n",solve(1,R,mod)%mod);				
//對mod取模，因爲qpow內部是用Mod(a,b)取模
    }
    return 0;
}