Min_25篩--簡明版

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一.前置技能

• 埃式篩法：標記素數的倍數

（線性篩是標記每個數的素數倍數）

• 積性函數性質:

(積性函數比如歐拉函數需要條件gcd(a,b)=1，完全積性函數不需要）

 

二.適用範圍

min2.5篩:質數冪的多項式（完全積性函數）

求

(杜教篩：可以利用狄利克雷卷積轉換爲數論函數，方便求前綴和)

顯然min2.5篩似乎適用更廣些

時間複雜度：   空間複雜度：

 

三.算法思路

首先我們定義:

 

g(n,0)表示不對合數做限制，因此是所有數的k次冪的和

但我們要只保留所有素數k次冪的和，

最終得到g(n,INF)

每一輪類似埃式篩法的過程篩掉不滿足的數，g(n,j)便代表：對 2~n做埃拉託斯特尼篩法 ,j 輪後剩下的所有數的 k 次冪和，

注意！g(n,j)包括 prime1,..primej 這些處理過的質數。

 

每輪從j-1→j，篩掉了f(i)

類似埃式篩法，我們只需篩n>=primej^2的部分，過程如下：

 

①n<=primej^2的部分已經在前面幾輪被篩掉，

 

②n>=primej^2，則要篩掉大於的部分，這部分可以用積性函數性質：

 

f(i/primej)可以用g表示，因爲n/primej>=n，所以g已經包含了前j-1輪已經篩出來的質數部分，減多了這部分要加回來

 

③先算出內質數冪的和的式子：

 

 

 

④最終計算：

我們定義：（注意沒有or了，即使是質數，也受到本身＞primeb約束）

 

記憶化：

 

不記憶化：

若是質數，利用篩出了的質數和（注意最小質數要求大於b，所以要減去小於b的部分）（g-g那部分）

若是合數，枚舉最小質因子的次數，累加即可（前半部分是除掉最小質數其他合數的貢獻，後半部分是該質數的t次方的貢獻）

 

四.代碼

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遞歸版

遞推版

（暫）參考洛谷模板，注意預處理n/i的值以及加上f(1)的值

 

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
il ll gi(){
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f?x:-x;
}
ll n;
int qt;
int pr[100010],yes[100010],cnt,gp1[100010],gp2[100010];
ll w[200010],sw;
int g1[200010],g2[200010];
int id1[100010],id2[100010];//預處理n/i的值，分別小於大於根號n
il int S(ll x,int y){
    if(pr[y]>=x)return 0;
    int p=x<=qt?id1[x]:id2[n/x];
    int ret=((0ll+g2[p]-g1[p]-(gp2[y]-gp1[y]))%mod+mod)%mod;//p^k^2-p^k
    for(int i=y+1;i<=cnt&&1ll*pr[i]*pr[i]<=x;++i){
        ll pe=pr[i];
        for(int e=1;pe<=x;++e,pe*=pr[i]){
            int o=pe%mod;
            ret=(ret+1ll*o*(o-1)%mod*(S(x/pe,i)+(e!=1)))%mod;
        }
    }
    return ret;
}
int main(){
    n=gi();qt=sqrt(n);
    yes[1]=1;
    for(int i=2;i<=qt;++i){
        if(!yes[i])pr[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=qt;++j){
            yes[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)gp1[i]=(gp1[i-1]+pr[i])%mod,gp2[i]=(gp2[i-1]+1ll*pr[i]*pr[i])%mod;//遞推時用的質數處F前綴和
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){//預處理(n/i) & 計算g的j=0邊界，邊界就是F'的前綴和，由於質數處F(p)是多項式所以可以快速算
        r=n/(n/l);w[++sw]=n/r;
        g1[sw]=w[sw]%mod;
        g2[sw]=(1ll*g1[sw]*(g1[sw]+1)%mod*(g1[sw]*2+1)%mod*166666668%mod-1)%mod;//1..w[sw]平方和
        g1[sw]=(1ll*g1[sw]*(g1[sw]+1)%mod*500000004-1)%mod;//1..w[sw]等差數列和
        if(n/r<=qt)id1[n/r]=sw;else id2[r]=sw;
    }
    //j從1到|P|遞推g
    for(int i=1;i<=cnt;++i){
        ll sqr_pi=1ll*pr[i]*pr[i];
        for(int j=1;j<=sw&&sqr_pi<=w[j];++j){
            ll p=w[j]/pr[i];
            p=(p<=qt?id1[p]:id2[n/p]);//定位p的座標
            g1[j]=(g1[j]-1ll*pr[i]*(g1[p]-gp1[i-1]+mod)%mod+mod)%mod;
            g2[j]=(g2[j]-1ll*pr[i]*pr[i]%mod*(g2[p]-gp2[i-1]+mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%d\n",(S(n,0)+1)%mod);
    return 0;//}