大部分是照着书和课件来的，主要为了方便复习
贪心
1.选择不相交区间问题
按照结束时间点排序
2.区间选点
考虑一个区间的后部最优，从后向前选
3.区间覆盖
去除无用点之后按照左端点排序，每次选择未处理区间内的第一个点进行询问
4.流水作业调度
(Johnson)设mi=min{ai,bi}记录转移的方向，排序之后依次判断，原来是a加在左边是b加在右边
5.带限期和罚款的单位时间任务调度
贪心的前提是一定要是单位时间，尽量先完成罚款比较大的工作，排序后找最晚时间去安排上，否则放在最后的空位上
数学
在oi上基本大部分的数学知识都体现在数论的有关内容上
会推数学式子才是数论题的关键，数学才是数论题的基础与核心
Code:
int gcd(int a,int b)
{
if(a % b == 0)
return a;
return gcd(b,a % b);
}
Exgcd:
目的是求: ax + by = gcd(a,b)的一组解(x,y)
同时返回的是d = gcd(a,b)
Code:
int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
else
{
int d = Exgcd(b,a%b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
}
}
这个算法是主要用来判断某一个数是不是质数的算法
但是请注意这个算法具有随机性，而且是单点判断，不适用于区间的素数筛选
这个算法的证明(手写)：
Code:
int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89};
Miller_Rabin(int a,int n)
{
int d = n - 1;
int r = 0;
while(d % 2 == 0)
{
d /= 2;
r++;
}
int x = kuaisumi(a,d,n);
if(x == 1)
return true;
for(int i=0;i<r;i++)
{
if(x == n - 1)
return true;
x = (long long)x * x % n;
}
return false;
}
bool is_prime(int n)
{
if(n <= 1)
return false;
for(int a=0;a<8;a++)
if(n == gg[a])
return true;
for(int a=0;a<8;a++)
if(!Miller_Rabin(gg[a],n))
return false;
return true;
}
线性筛：
线性筛的算法有很多种，但是本文这里为了简便起见
只介绍欧拉筛了，同时因为欧拉筛可以预处理莫比乌斯函数和欧拉函数等数论函数
还可以得出每一个合数的最小非1因子
好处多多a
Code:
memset(not_prime,0,sizeof(not_prime));
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!not_prime[i])
{
prime[++prime_cnt] = i;
phi[i] = i - 1;
mu[i] = -1;
}
for(int j=1;j<=prime_cnt;j++)
{
int x = i * prime[j];
if(x > n)
break;
not_prime[x] = true;
phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
mu[x] = mu[i] * mu[prime[j]];
if(i % prime[j] == 0)
{
phi[x] = phi[i] * prime[j];
mu[x] = 0;
break;
}
}
}
快速幂：
这个的原理就是在实现的时候将每一个数将其"拆分"
从而我们可以用倍数来×代替了×多少次
Code:
int quickpow(int a,int b,int p)
{
int res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)
res = res * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
中国剩余定理:
定理内容：
中国剩余定理的形式是这样的：
存在一个这样的式子：(中国剩余定理的限制条件:m1,m2,m3...mn这些数是互质的)
然后我们的任务是求最小的整数x使得非负整数x满足以上条件
我们设定一个 M = ∏mi (即M为所有m的最小公倍数)
方程 M / mi * ti ≡ 1 (mod mi) 中 ti 为其最小非负整数解 (这里可以用exgcd来实现求解)
那么有一个解为 x = ∑ ai * M / mi * ti
通解为: x + i * M
特别地，算法的非负整数解为 (x % M + M) % M (将x移到[0,M]这个区间内)
算法证明:
因为M / mi 是除了mi之外的所有数的倍数
那么对于任意的k ≠ i 都有 ai * M / mi * ti ≡ 0 (mod mk)
又有M / mi * ti ≡ 1 (mod mi)
将两边同时乘ai得 ai * M / mi * ti ≡ ai (mod mi)
最后我们带入x = ∑ ai * M / mi * ti
从而原方程组成立
Code:
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return ;
}
exgcd(b,a % b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
}
int crt()
{
int ans = 0;
int M = 1;
int x,y;
for(int i=1;i<=k;i++)
M *= b[i];
for(int i=1;i<=k;i++)
{
int t = M / b[i];
exgcd(t,b[i],x,y);
x = (x % b[i] + b[i]) % b[i];
ans = (ans + t * x * a[i]) % M;
}
return (ans + M) % M;
}
拓展中国剩余定理
这个与中国剩余定理不同的地方就在于这里的mi不一定两两互质了
解法：
我们假设已经求解出前k - 1个同余方程组的解为x
并且有M=∏(i−1,k−1)mi
那么前k个方程组的通解为 x + i * M(i ∈ Z)
对于我们即将插入第k个方程后形成的k个方程形成的方程组
我们就是要求一个正整数t，使得
x + t * M ≡ ak (mod mk)
我们针对于这一个式子转化一下就可以得到：
t * M ≡ ak - x (mod mk)
我们可以利用exgcd求解t
若这一个方程组无解t那么这整个方程组也就是无解的(显然，我们无法找到一个x使得x满足以上的方程成立条件)
若有，则前k个同余式构成的方程组的一个解为:
xk = x + t * M
所以我们整个算法的核心思路就是我们求解k次exgcd对于方程进行了k - 1次的展开
Code:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b,a % b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return d;
}
int excrt()
{
int x,y,k;
int M = b[1];
int ans = a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int aa = M;
int bb = b[i];
int c = (a[i] - ans % bb + bb) % bb; // x + t * M ≡ ak (mod mk)
int d = exgcd(aa,bb,x,y); //求一组解
int m = bb / d;
if(c % d != 0) //若无解就直接返回
return -1;
x = x * (c / d) % m;
ans += x * M;
M *= m; //要将这个mi加入到M里面
ans = (ans % M + M) % M; // xk = x + t * M
}
return (ans % M + M) % M; //返回值
}
放两道模板题:
BSGS(Baby Step Giant Step)算法
它还可以找循环节！
其实它还叫(拔山盖世算法qwq)
这个算法的问题主要就是求解已知A, B, C，求X使得A^x = B (mod C)
然后这个算法的核心思路就是分块枚举(也就是比较好看的暴力)
我们需要完整地算出第一行的所有数的值
在第二行及以后我们便可以对于每一行都进行二分运算(这里我们对于它进行排序便于二分)
我们判断在每一行的值有没有等于的地方
最后就可以在有这个函数值的一行进行算找那一个特殊值就好了(对于取模运算可以在快速幂的时候注意一下)
分块的大小是sqrt() * sqrt()的
而接下来将给出为什么是sqrt()的证明
因为 x = i*m-j , 所以x 的最大值不会超过p
由费马小定理知: 当p为质数且 (a,p) = 1 时 ap-1 ≡ 1 (mod p)
所以 当 x = p-1 时 ap-1 ≡ 1 会重新开始循环 所以 x 最大不会超过 p-1
所以：如果枚举 x 的话枚举到 p 即可。
所以使 im−j<=p , 即 m=⌈√p⌉ , i,j 最大值也为m。
Code:
int size;
bool erfen(int x)
{
int l = 0;
int r = size;
while(l + 1 != r)
{
int m = (l + r) >> 1;
if(z[m] >= x)
r = m;
else
l = m;
}
return z[r] == x;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
size = sqrt(p);
int nowv = 1;
for(int i=1;i<=size;i++)
{
nowv = (long long) nowv * a % p;
z[i] = nowv;
if(z[i] == b)
return i;
}
sort(z + 1,z + size + 1);
for(int i=2;(i - 1) * size + 1<=p;i++)
{
int y = (long long)b * kuaisumi(kuaisumi(a,size * (i - 1),p),p - 2,p);
if(erfen(y))
{
for(int j=(i - 1) * size + 1;j<=i*size;j++)
if(kuaisumi(a,j,p) == b)
return j;
}
}
return -1;
}