【算法學習】 tarjan算法以及圖論的一些應用(強連通分量/割點/橋/縮點)

學習了tarjan算法，覺得這個算法真的是挺強大的，然而蒟蒻並不會用 ，先學習着寫一篇博客作爲記錄。

學習tarjan的點覺得主要在於兩個數組的理解—— $dfn,low$數組
$dfn$數組，用於記錄$dfs$序，也就是這個點最早什麼時候被dfs搜索到。
$low$數組，用於記錄其及其子樹中的點能回溯到的點的最小$dfs$序

這兩個數組引出了很多很多應用

tarjan模板

const int maxn = 1e5+5;
struct Edge{
	int u,v,nxt;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
inline void addedge(int u,int v){
	edge[++tot] = {u,v,head[u]};
	head[u] = tot;
}
bool vis[maxn];
int dfn[maxn],sta[maxn],low[maxn],stalen,num,color[maxn],dfnnum;
void tarjan(int u){
	dfn[u] = low[u] = ++dfnnum;
	sta[stalen++] = u; vis[u] = true;
	for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt){
		Edge &e = edge[i];
		if(!dfn[e.v]){
			tarjan(e.v);
			low[u] = min(low[u],low[e.v]);
		}else if(vis[e.v]) low[u] = min(low[u],vis[e.v]);
	}
}

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應用

1.求強連通分量

1. 強連通分量的定義:
   有向圖強連通分量：在有向圖GG中，如果兩個頂點$V_i,V_j$間（$V_i!=V_j$）有一條從$V_i$到$V_j$ 的有向路徑，同時還有一條從$V_i$到$V_j$ 的有向路徑，則稱兩個頂點強連通。如果有向圖$G$的每兩個頂點都強連通，稱$G$是一個強連通圖。有向圖的極大強連通子圖，稱爲強連通分量。 ——百度百科

例如
如何求一個有向圖中的強連通分量呢?
即$dfn == low$
原因還是要從$dfn$和$low$的含義來分析，上面我們提到：

• $dfn$數組，用於記錄$dfs$序，也就是這個點最早什麼時候被dfs搜索到。
• $low$數組，用於記錄其及其子樹中的點能回溯到的點的最小$dfs$序
• 這說明了$u$點及$u$點之下的所有子節點沒有邊是指向u的祖先的了，即我們之前說的$u$點與它的子孫節點構成了一個最大的強連通圖即強連通分量
  然後呢，不斷的出棧頂元素直到 u == cur，所有被出棧的元素都屬於同一個強連通分量。

代碼:

const int maxn = 1e5+5;
struct Edge{
	int u,v,nxt;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
inline void addedge(int u,int v){
	edge[++tot] = {u,v,head[u]};
	head[u] = tot;
}
bool vis[maxn];
int dfn[maxn],sta[maxn],low[maxn],stalen,num,color[maxn],dfnnum;
void tarjan(int u){
	dfn[u] = low[u] = ++dfnnum;
	sta[stalen++] = u; vis[u] = true;
	for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt){
		Edge &e = edge[i];
		if(!dfn[e.v]){
			tarjan(e.v);
			low[u] = min(low[u],low[e.v]);
		}else if(vis[e.v]) low[u] = min(low[u],vis[e.v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		++num;	int cur;
		do{
			cur = sta[--stalen];
			vis[cur] = 0;
			color[cur] = num;	// 染色，同一個顏色的爲一個強連通分量
		}while(u!=cur);
	}
}

我們可以來做一個簡單的模擬即可明白具體過程，以及算法的正確性

模板題練手
P2341 [HAOI2006]受歡迎的牛|【模板】強連通分量

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2. 縮點

簡單來說，一個強連通分量內的點都可以互相可達，舉信息傳遞的例子來說，如果任意選擇一個強連通分量內的點作爲信息源，在這個強連通分量內的其他點都可以收到信息，於是就引出了一個縮點的概念(縮點在很多圖論題目中應用很廣泛，可以使得一些有向有環圖變成有向無環圖，於是就可以用到拓撲排序等等之類的在DAG上可以用到的算法)

因此縮點是強連通分量的一個應用 (我認爲

模板題：P3387 【模板】縮點
然後分析一下這道題目爲什麼要用到縮點呢，看一下題意

給定一個n個點m條邊有向圖，每個點有一個權值，求一條路徑，使路徑經過的點權值之和最大。你只需要求出這個權值和。
允許多次經過一條邊或者一個點，但是，重複經過的點，權值只計算一次。

對於一個強聯通分量來說，如果可以走進這個強連通分量，那麼這個分量裏的點都要走一遍(因爲這樣是最優的，那麼我們就可以把整個連通分量縮小成一個點，並且這個點的點權爲所有點的點權之和)

然後把這些點再重新建邊，跑一遍記搜或者dp(DP好像需要用拓撲序)就可以了

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3.割點

在無向連通圖中，如果將其中一個點以及所有連接該點的邊去掉，圖就不再連通，那麼這個點就叫做割點（cut vertex / articulation point）。(割點一般對於無向圖來說)

找割點
當 $low[e.v] \geq dfn[u]$,此時$u$就爲割點了

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總的來說…這些都是一些基礎知識，對於題目來說要靈活使用才能做出題目