弗羅貝尼烏斯範數（Frobenius norm）

原文鏈接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_60bec5090100y1io.html

向量範數是很常見的，在很多教科書裏都能見到。矩陣範數是對向量範數的一種推廣。下面轉載一篇講解矩陣範數的文章，裏面有對弗羅貝尼烏斯範數的定義，比較適合掃盲。原文如下：

矩陣範數（matrix norm）是數學上向量範數對矩陣的一個自然推廣。

目錄

• 1 矩陣範數的特性
• 2 誘導範數
• 3 矩陣元範數
  • 3.1 弗羅貝尼烏斯範數
  • 3.2 極大範數
  • 3.3 Schatten 範數
• 4 一致範數
• 5 範數的等價
  • 5.1 範數等價的例子
• 6 參考資料

矩陣範數的特性

以下 K 代表實數或複數域。現在考慮  空間，亦即所有 m 行與 n 列的矩陣。

 上的矩陣範數滿足向量範數的所有特性，即若  是矩陣 A 的範數，那麼：

• ，且等號成立當且僅當 A = 0 。

• ，對於所有 α 屬於 K 和所有矩陣 A 屬於  成立。

• ，對於所有矩陣 A 和 B 屬於 

此外，一些定義在n乘n矩陣上的矩陣範數（但並非所有這類的範數）滿足一個或多個以下與“矩陣比純粹一個向量有更多東西的事實”有關的條件：

• ，A * 是 A 的共軛轉置（實矩陣就是普通轉置）

一個滿足第一個附加特性的矩陣範數被稱爲服從乘法範數（sub-multiplicative norm）。附上矩陣範數幷包含所有 n×n 矩陣的集合，是巴拿赫代數的一個例子。

（在一些書上，術語“矩陣範數”只指服從乘法範數。）

誘導範數

及上向量範數已知（K 是實數或複數域），可在  矩陣空間上按照下述原則定義相應的“誘導範數”或算子範數：

若 m = n 且在定義域和值域上使用相同的範數，則誘導的算子範數是服從乘矩陣範數。

舉例說明, 與向量的 p-範數對應的算子範數是：

在 p = 1 且  的情況下，其範數可以以下方式計算：

這些與矩陣的 Schatten p-範數不同, 也可以用  來表示。

若滿足 p = 2（歐幾里德範數）且 m = n（方陣）此兩特殊情況時，誘導的矩陣範數就是“譜範數”。矩陣 A 的譜範數是 A 最大的奇異值或半正定矩陣 A*A 的最大特徵值的平方根：

其中 A* 代表 A 的共軛轉置 。

任何矩陣範數滿足此不等式

其中 ρ(A) 是 A 的譜半徑。事實上，可以證明 ρ(A) 是 A 的所有誘導範數的下界。

此外，我們有

矩陣元範數

這些向量範數將矩陣視爲  向量，並使用類似的向量範數。

舉例說明，使用向量的 p-範數，我們得到：

注：不要把矩陣元 p-範數與誘導 p-範數混淆。

弗羅貝尼烏斯範數

對 p = 2，這稱爲弗羅貝尼烏斯範數（Frobenius norm）或希爾伯特-施密特範數（Hilbert–Schmidt norm），不過後面這個術語通常只用於希爾伯特空間。這個範數可用不同的方式定義：

這裏 A* 表示 A 的共軛轉置，是 A 的奇異值，並使用了跡函數。弗羅貝尼烏斯範數與上歐幾里得範數非常類似，來自所有矩陣的空間上一個內積。

弗羅貝尼烏斯範數是服從乘法的且在數值線性代數中非常有用。這個範數通常比誘導範數容易計算。

極大範數

極大範數是 p=∞ 的元素範數，

這個範數不服從乘法。

Schatten 範數

更多資料：Schatten範數

Schaten 範數出現於當 p-範數應用於一個矩陣的奇異值向量時。如果奇異值記做 ， 則 Schatten p-範數定義爲

這個範數與誘導、元素 p-範數使用了同樣的記號，但它們是不同的。

所有 Schatten 範數服從乘法。它們也都是酉不變的，這就是說 ||A|| = ||UAV|| 對所有矩陣 A 與所有酉矩陣 U 和 V。

最常見的情形是 p = 1, 2, ∞。p = 2 得出弗羅貝尼烏斯範數，前面已經介紹過了。p = ∞ 得出譜範數，這是由向量 2-範數誘導的矩陣範數（見下）。最後， p = 1 得出跡範數，定義爲

一致範數

一個  上矩陣範數  稱爲與上向量範數  以及 上向量範數  一致，如果

對所有 。根據定義，所有誘導範數是一致範數。

範數的等價

對任何兩個向量範數  and ，我們有

對某個正數 r 與 s， 中所有矩陣 A 成立。換句話說，它們是等價的範數；它們在  上誘導了相同的拓撲。

此外，當 ，則對任何向量範數 ||·||，存在惟一一個正數 k 使得 k||A|| 是一個（服從乘法）矩陣範數。

一個矩陣範數  稱爲“極小的”，如果不存在其它矩陣範數  滿足  ≤  。

範數等價的例子

對矩陣  如下不等式成立[1][2]：

這裏，||·||p 表示由向量 p-範數誘導的矩陣範數。

向量範數之間另一個有用的不等式是

參考資料

1. ^ Golub, Gene; Van Loan, Charles F., Matrix Computations. 3rd, Baltimore: The Johns Hopkins University Press. 1996:  56-57, ISBN 0-8018-5413-X
2. ^ Horn, =Roger; Johnson, Charles, Matrix Analysis, Cambridge University Press. 1985, ISBN 0-521-38632-2

1. Douglas W. Harder, Matrix Norms and Condition Numbers [1]
2. James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
3. Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000. [2]