数据预处理之白化（Whitening transformation）

原文链接：http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50864602

白化whitening

原文地址：http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50864602

作者：hjimce

一、相关理论

    白化这个词，可能在深度学习领域比较常遇到，挺起来就是高大上的名词，然而其实白化是一个比PCA稍微高级一点的算法而已，所以如果熟悉PCA，那么其实会发现这是一个非常简单的算法。

    白化的目的是去除输入数据的冗余信息。假设训练数据是图像，由于图像中相邻像素之间具有很强的相关性，所以用于训练时输入是冗余的；白化的目的就是降低输入的冗余性。

    输入数据集X，经过白化处理后，新的数据X'满足两个性质：

(1)特征之间相关性较低；
(2)所有特征具有相同的方差。

    其实我们之前学的PCA算法中，可能PCA给我们的印象是一般用于降维操作。然而其实PCA如果不降维，而是仅仅使用PCA求出特征向量，然后把数据X映射到新的特征空间，这样的一个映射过程，其实就是满足了我们白化的第一个性质：除去特征之间的相关性。因此白化算法的实现过程，第一步操作就是PCA，求出新特征空间中X的新座标，然后再对新的座标进行方差归一化操作。

二、算法概述

白化分为PCA白化、ZCA白化，下面主要讲解算法实现。这部分主要是学了UFLDL的深度学习《白化》教程：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E7%99%BD%E5%8C%96。自己的一点概括总结，算法实现步骤如下：

1、首先是PCA预处理

     

上面图片，左图表示原始数据X，然后我们通过协方差矩阵可以求得特征向量u1、u2，然后把每个数据点，投影到这两个新的特征向量，得到进行座标如下：

这就是所谓的pca处理。

2、PCA白化

所谓的pca白化是指对上面的pca的新座标X’,每一维的特征做一个标准差归一化处理。因为从上面我们看到在新的座标空间中，(x1,x2)两个座标轴方向的数据明显标准差不同，因此我们接着要对新的每一维座标做一个标注差归一化处理：

当然你也可以采用下面的公式：

X'为经过PCA处理的新PCA座标空间,然后λi就是第i维特征对应的特征值（前面pca得到的特征值），ε是为了避免除数为0。

3、ZCA白化

ZCA白虎是在PCA白化的基础上，又进行处理的一个操作。具体的实现是把上面PCA白化的结果，又变换到原来座标系下的座标：

给人的感觉就像是在PCA空间做了处理完后，然后又把它变换到原始的数据空间。

具体源码实现如下：

def zca_whitening(inputs):
    sigma = np.dot(inputs, inputs.T)/inputs.shape[1] #inputs是经过归一化处理的，所以这边就相当于计算协方差矩阵
    U,S,V = np.linalg.svd(sigma) #奇异分解
    epsilon = 0.1                #白化的时候，防止除数为0
    ZCAMatrix = np.dot(np.dot(U, np.diag(1.0/np.sqrt(np.diag(S) + epsilon))), U.T)                     #计算zca白化矩阵
    return np.dot(ZCAMatrix, inputs)   #白化变换

参考文献：

1、http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E7%99%BD%E5%8C%96