「leetcode」買賣股票的最佳時機I、II、III、IV、含手續費、含冷凍期

前言

出場率很高的系列面試題，半年內，頭條18次，阿里4次，小米3次（我買了會員所以可以看到出場率）。最近要面試的必看。

121.買賣股票的最佳時機（簡單）

原題

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。如果你最多隻允許完成一筆交易（即買入和賣出一支股票），設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。注意你不能在買入股票前賣出股票。

示例 1:

輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 5
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出，最大利潤 = 6-1 = 5 。
     注意利潤不能是 7-1 = 6, 因爲賣出價格需要大於買入價格。

示例 2:

輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤爲 0。

思路

注意：本題題限制交易次數爲1次。

第i天
- 如果第i天持有股票。有兩種可能會在第i天持有股票。
  1. 今天購買股票
  2. 今天之前就已經購買股票
- 如果第i天不持有股票。有兩種可能會在第i天不持有股票。
  1. 今天本身就不持有股票
  2. 今天賣出本身持有的股票
第一天，股價爲7
- 由購買股票屬於支出，所有如果在第一天購買股票，最大利潤爲0 - 7 = -7
- 第一天不持有股票，利潤爲0
第二天，股價爲1
- 我們需要將利潤最大化，所以購買的股價越低越好。第二天股價爲1是優於第一天的7的，所以我們應該選擇在第二天購買股票，此時最大利潤爲0 - 1 = -1。（由於本題本身限制了交易次數，所以不存在被除數不等於0的情況）
- 第二天不持有股票，有兩種可能（第二天本身就不持有股票，狀態沿用前一天的狀態。或者，以️今天的股價賣出當前持有的股票。）。第一種可能，最大收益爲0, 第二種可能，最大收益爲1 - 7 = -6，小於0。所以我們在第二天的最大收益應該是0。
第三天，股價爲5
- 第三天股價爲5比前一天要高，所以我們依然選擇在前一天購買股票，持有股票時第三天最大利潤依然爲-1
- 第三天不持有股票，有兩種可能。第一種可能是沿用前一日的狀態，收益依然爲0。第二種可能，以今天的股價賣出當前持有股票，收益爲5 - 1 = 4（當前的股價 - 前一日持有股票時的最優值或者說成本最低值），結果是4，優於第一種可能。所以在第三天不持有股票的最大收益爲4。

向後依次類推，找出，不持有股票的最優結果數組中的,最大值即可。💡（因爲不持有股票時，纔沒有負擔啊～～）。

代碼


var maxProfit = function(prices) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    // dp1數組存儲第`i`天，持有股票的最大利潤
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]
    // dp2數組存儲第`i`天，不持有股票的最大利潤
    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], -prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

122.買賣股票的最佳時機 II（簡單）

原題

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你可以儘可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 7
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 3 天（股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
     隨後，在第 4 天（股票價格 = 3）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 6-3 = 3 。

示例 2:

輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4
解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。
     因爲這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

思路

注意：本題不限制交易次數（309題，714題都可以看作是本題的引申）

與第一題不同，本題是可以進行無限次的交易。所以我們的收益是可以累加的。對狀態轉移方程式的影響，最直接的體現，就是對於第i天持有股票的最優解我們需要考慮前一天收益，而不是從0開始。所以，持有股票的狀態轉移方程式由，Max(前一天的狀態, 0 - 今天的股價)變爲Max(前一天的狀態，前一天的最優收益 - 今天的股價）。

我們按照上題的推導邏輯，依次類推即可。最後，返回最後一天不持有股票時的最佳收益即可。

代碼


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]
    
    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[prices.length - 1]
};

714.買賣股票的最佳時機含手續費（中等）

原題

給定一個整數數組 prices，其中第 i 個元素代表了第 i 天的股票價格；非負整數 fee 代表了交易股票的手續費用。你可以無限次地完成交易，但是你每次交易都需要付手續費。如果你已經購買了一個股票，在賣出它之前你就不能再繼續購買股票了。返回獲得利潤的最大值。

示例 1:

輸入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
輸出: 8
解釋: 能夠達到的最大利潤:  
在此處買入 prices[0] = 1
在此處賣出 prices[3] = 8
在此處買入 prices[4] = 4
在此處賣出 prices[5] = 9
總利潤: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

思路

本題是122題的變種，我們只需要在賣出股票時，考慮手續費fee即可。

代碼


/**
 * @param {number[]} prices
 * @param {number} fee
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices, fee) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]

    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1] - fee)
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

309.最佳買賣股票時機含冷凍期（中等）

原題

給定一個整數數組，其中第 i 個元素代表了第 i 天的股票價格。設計一個算法計算出最大利潤。在滿足以下約束條件下，你可以儘可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）:

你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。
賣出股票後，你無法在第二天買入股票 (即冷凍期爲 1 天)。

示例:

輸入: [1,2,3,0,2]
輸出: 3 
解釋: 對應的交易狀態爲: [買入, 賣出, 冷凍期, 買入, 賣出]

思路

本題依然是122題的變種，但是又有所區別。

交易股票分爲買入，賣出兩步。買入的操作是受到了冷凍期的限制，但是賣出是不受冷凍期的限制的。根據冷凍期的規則，我們需要將持有股票的狀態轉移方程調整爲上圖所示。但是很多人看到上面的公式，都會提出下面這個疑問。

🤔️Q：第i天持有股票的最優狀態爲什麼要從第i - 2天不持有的狀態獲得，第i-1天就一定是冷凍期嗎？

😆A: 第i天持有股票的方式有兩種可能。第一種可能，本身就持有股票，延續i-1天的狀態。第二種可能，以第i天的股價購買股票，那麼我們就需要考慮，第i-1天不持有股票狀態。

如果第i-1天是冷凍期。那麼第i-1天的狀態必然和第i-2天相等。

如果第i-1天不是是冷凍期。有兩種可能。第一種可能，第i-1天本身就不持有股票，那麼我們就需要得到第i-2天的狀態。第二種可能，第i-1天賣出股票，由於冷凍期的限制，第i天就不能購買股票，所以這種可能不成立（無論是不是冷凍期，我們都不能在第i-1天賣出股票）。

通過上面的分析可知。無論第i-1天是不是冷凍期，我們都要從第i-2天不持有股票的最優解進行計算。

代碼


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]

    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        let temp = dp2[i - 2] === undefined ? 0 : dp2[i - 2]
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], temp - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

123.買賣股票的最佳時機 III（困難）

原題

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成兩筆交易。

注意: 你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
輸出: 6
解釋: 在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。
     隨後，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8 天 （股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。

示例 2:

輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4
解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。   
     因爲這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

思路

本題的思考需要增加一個緯度，之前我們只需要考慮持有與不持有兩種情況，我們在兩種情況上，增加到四種情況。持有股票，還有兩次交易機會，持有股票，還有一次交易機會，不持有股票，還有兩次交易機會，不持有股票，還有一次交易機會。

代碼


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    
    // 持有股票
    const dp1 = [
        [-prices[0]], // 還剩下兩次交易機會
        [-prices[0]] // 還剩下一次交易機會
    ]
    // 不持有股票
    const dp2 = [
        [0], // 還剩下兩次交易機會
        [0] // 還剩下一次交易機會
    ]
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        // 持有股票，還有兩次交易機會
        dp1[0][i] = Math.max(dp1[0][i - 1], -prices[i])
        // 持有股票，還有一次交易機會
        dp1[1][i] = Math.max(dp1[1][i - 1], dp2[0][i - 1] - prices[i])
        // 不持有股票，還有兩次交易機會
        dp2[0][i] = Math.max(dp2[0][i - 1], prices[i] + dp1[0][i - 1]) 
        // 不持有股票，還有一次交易機會
        dp2[1][i] = Math.max(dp2[1][i - 1], prices[i] + dp1[1][i - 1])
    }
    
    return dp2[1][prices.length - 1]
};

188.買賣股票的最佳時機 IV（困難）

原題

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成 k 筆交易。

注意: 你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入: [2,4,1], k = 2
輸出: 2
解釋: 在第 1 天 (股票價格 = 2) 的時候買入，在第 2 天 (股票價格 = 4) 的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-2 = 2 。

示例 2:

輸入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
輸出: 7
解釋: 在第 2 天 (股票價格 = 2) 的時候買入，在第 3 天 (股票價格 = 6) 的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 6-2 = 4 。
     隨後，在第 5 天 (股票價格 = 0) 的時候買入，在第 6 天 (股票價格 = 3) 的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。

思路

本題是123題的衍生，在leetcode用例中，會有因爲k過大，導致dp數組過大，導致內存溢出的問題。

長度爲n的數組，最多進行n/2次的交易，所以所以k大於n/2，就相當於不限制交易次數, 我們就可以把本題當作第122題處理。

代碼


/**
 * @param {number} k
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(k, prices) {
    if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {
        return 0
    }
    
    if (k === 0) {
        return 0
    }
    
    if (k > prices.length / 2) {
        k = -1
    }
    
    const dp1 = []
    const dp2 = []
    
    if (k == -1) {
        dp1[0] = -prices[0]
        dp2[0] = 0
    } else {
        for (let i = 0; i < k; i++) {
            dp1.push([-prices[0]])
            dp2.push([0])
        }
    }
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        if (k === -1) {
            dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
            dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
        } else {
            for (let j = 0; j < k; j++) {
                if (j === 0) {
                    dp1[j][i] = Math.max(dp1[j][i - 1], -prices[i]) 
                } else {
                    dp1[j][i] = Math.max(dp1[j][i - 1], dp2[j - 1][i - 1] - prices[i])
                }
                dp2[j][i] = Math.max(dp2[j][i - 1], prices[i] + dp1[j][i - 1]) 
                dp2[j][i] = Math.max(dp2[j][i - 1], prices[i] + dp1[j][i - 1])
            }
        }
    }
    
    if (k === -1) {
        return dp2[prices.length - 1]
    } else {
        return dp2[k - 1][prices.length - 1]
    }
};

QA

🤔️Q：今天的最優解，是基於前一天的最優解得到的，這樣可以保證全局最優嗎？

😆A：我們可以把每一天當作最後一天。在最後一天，我們️收益值基於兩種可能。第一種可能，最後一天時我們沒有股票，
由於是最後一天所以，我們也不能買入股票，只能維持前一天的收益值。第二種可能，最後我們手上恰好還有股票，我們只能選擇將它賣出，我們的收益值取決於當天的股價以及買入的價格（持有股票的最優值），當天的股價是確定以及肯定的，如果買入的價格不是最優值，我們必然無法得到收益的最大值。

參考

[Most consistent ways of dealing with the series of stock problems
](https://leetcode.com/problems...

「leetcode」買賣股票的最佳時機I、II、III、IV、含手續費、含冷凍期

前言

121.買賣股票的最佳時機（簡單）

原題

思路

代碼

122.買賣股票的最佳時機 II（簡單）

原題

思路

代碼

714.買賣股票的最佳時機含手續費（中等）

原題

思路

代碼

309.最佳買賣股票時機含冷凍期（中等）

原題

思路

代碼

123.買賣股票的最佳時機 III（困難）

原題

思路

代碼

188.買賣股票的最佳時機 IV（困難）

原題

思路

代碼

QA

參考

「leetcode」485.最大連續1的個數；487.最大連續1的個數 II；1004.最大連續1的個數 III

「leetcode」買賣股票的最佳時機I、II、III、IV、含手續費、含冷凍期

「Preact」逐行解析hooks源碼

「leetcode」649.Dota2 參議院

「leetcode」122.買賣股票的最佳時機 II

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

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