Coursera-MachineLearning-LogisticRegression

Coursera機器學習-吳恩達
Octave 代碼
背景：使用邏輯迴歸預測學生是否會被大學錄取。

% 1.讀取訓練集，並打印正負樣本：

data = load('ex2data1.txt');
X = data(:, [1, 2]); 
y = data(:, 3);

plotData(X, y);

% 函數plotData：
function plotData(X, y)

figure; hold on;
% 打印正樣本和負樣本
positive = find(y == 1);
negative = find(y == 0);
plot(X(positive, 1), X(positive, 2), 'k+', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 7);
plot(X(negative, 1), X(negative, 2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 7);

hold off;
end

hold on;
% Labels and Legend
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')

legend('Admitted', 'Not admitted')
hold off;

% 2.計算代價函數J 和下降梯度

[m, n] = size(X);
X = [ones(m, 1) X];
initial_theta = zeros(n + 1, 1);

% 計算代價函數，使用初始化全爲0的計算代價
[cost, grad] = costFunction(initial_theta, X, y);

% 函數costFunction：
function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)

m = length(y); 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));

% 計算代價和梯度grad，公式如下圖：
J = -1 / m *(sum(y .* log(sigmoid(X * theta)) + (1 - y) .* log(1 - sigmoid(X * theta))));
grad =  1 / m * X' * (sigmoid(X * theta) - y);

end

fprintf('\nCost at test theta: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', grad);

% 再次計算代價函數，使用測試的theta：
test_theta = [-24; 0.2; 0.2];
[cost, grad] = costFunction(test_theta, X, y);
fprintf('\nCost at test theta: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', grad);

2.1 假設函數由來：
	邏輯迴歸是分類問題，若使用線性迴歸的假設函數，h(x)會不是確定的範圍的值。
	如下圖，h(x)>0.5 是 yes， h(x)<0.5 是 no，這裏分界是0.5，但到其他問題分界線就會變

2.1.1 因此我們需要將結果縮到 [0,1] 中，這樣方便判斷，
	  分界線永遠爲0.5，函數值大於0.5就爲yes，小於0.5爲no
	  因此使用 sigmoid函數，並把之前線性迴歸的假設函數theta * x
	  帶入：
	  這樣 theta * x > 0，則 g(z) > 0.5，則 判斷爲1
	  	   theta * x < 0，則 g(z) < 0.5，則 判斷爲0
	  
	  因此 g(z) 即爲邏輯迴歸的假設函數

2.2 代價函數J 由來
	若將上述假設函數 g(z) 帶入線性迴歸的代價函數，得到的不是凸函數，
	即有很多局部最小值，不利於梯度下降：

2.2.1 因此不能用線性迴歸的代價函數了，用個新的：
	  這樣是凸函數，然後合併一下：

2.2.3 上述就是邏輯迴歸的代價函數J，還可以優化一下，將各項的和用矩陣的方式
	  實現：

2.3 梯度下降的由來：
首先由梯度下降的一般公式，然後將代價函數帶入，並對 theta 求偏導數，
再乘步長 a ：

% 3. 使用高級優化（Advanced Optimization）來更新 theta

% 'GradObj', -'on'：設置梯度目標參數爲on打開狀態
% 'MaxIter', -100：設置最大迭代次數400
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);

% 運行 fminunc 就可以得到最佳 theta，並打印
% @是函數指針
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);

fprintf('Cost at theta found by fminunc: %f\n', cost);
fprintf(' %f \n', theta);

plotDecisionBoundary(theta, X, y);
hold on;
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')
legend('Admitted', 'Not admitted')
hold off;

% 函數plotDecisionBoundary：
function plotDecisionBoundary(theta, X, y)

% 先打印訓練集數據
plotData(X(:,2:3), y);
hold on

%這裏不太懂怎麼打印
% else後是打印便捷，先隨機生成 -1到1.5 50個數字，
% 然後用mapFeatures生成 X1, X2, X1.^2, X2.^2, X1*X2, X1*X2.^2, etc..
% 足夠特徵後打印
if size(X, 2) <= 3
    plot_x = [min(X(:,2))-2,  max(X(:,2))+2];
    plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));
    plot(plot_x, plot_y)
    legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')
    axis([30, 100, 30, 100])
else
    u = linspace(-1, 1.5, 50);
    v = linspace(-1, 1.5, 50);
    z = zeros(length(u), length(v));

    for i = 1:length(u)
        for j = 1:length(v)
            z(i,j) = mapFeature(u(i), v(j))*theta;
        end
    end
    
    z = z'; 
    contour(u, v, z, [0, 0], 'LineWidth', 2)
end
hold off
end

% 4.預測一波，並判斷準確性

% 假設函數：hθ(x) = g(θ'x) = sgmoid(x * theta)
prob = sigmoid([1 45 85] * theta);
fprintf(['For a student with scores 45 and 85, we predict an admission ' ...
         'probability of %f\n'], prob);
fprintf('Expected value: 0.775 +/- 0.002\n\n');

% 基於訓練集計算準確性
p = predict(theta, X);
fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);

% 函數：predict：
function p = predict(theta, X)
m = size(X, 1); 
p = zeros(m, 1);
temp = sigmoid(X * theta);
p = temp > 0.5;
end