連接波源、負載的傳輸線及其功率

信號源的複數表示法

下圖是傳輸線電路的一般形式，它包含一個源電壓爲 $V_{G}$ 、阻抗爲 $Z_{G}$ 的電壓源。

傳輸線輸入端電壓，可以寫成以下一般形式：

$V_{\mathrm{in}}=V_{\mathrm{in}}^{+}+V_{\mathrm{in}}^{-}=V_{\mathrm{in}}^{+}\left(1+\Gamma_{\mathrm{in}}\right)=V_{G}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)$

其中最後的表達式是根據分壓定律得出。輸入反射係數 $\Gamma_{\mathrm{in}}$ 是由波源向長度的傳輸線方向觀察得到的

$\Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma(d=l)=\frac{Z_{\mathrm{in}}-Z_{0}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{0}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}$

其中 $\Gamma_{0}$ 是負載反射係數。

從負載反射的電壓波向着波源傳輸，所以必須考慮傳輸線與波源阻抗之間的失配情況。若從傳輸線向波源觀察，可以定義波源反射係數

$\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}$

與輸入分反射係數 $\Gamma_{\mathrm{in}}$ 類似

$\Gamma_{\mathrm{out}}}=\Gamma_{S} e^{-2 j \beta l}$

傳輸線的功率問題

根據時間的平均功率定義，

$P_{av}=\frac{1}{2}Re(VI^*)$

引入複數形式的輸入電壓

$V_{in}=V_{in}^{+}(1+\Gamma_{in})$

輸入電流

$I_{in}=\frac{V_{in}^{+}}{Z_{0}}(1+\Gamma_{in})$

計算結果如下

$P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{in}}^{+}+P_{\mathrm{in}}^{-}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{in}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)$

可以發現功率也是由正、反傳輸的波構成。

這裏來看一下對 $V_{in}^+$ 重寫爲如下形式

$V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{\mathrm{in}}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}=\frac{V_{G}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)$

參考終端加載的無損耗傳輸線的輸入方程中 $Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma(d)}{1-\Gamma(d)}$ ，將 $Z_{in}$ 改寫爲

$Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}}$

根據 $\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}$ ，可得源阻抗爲

$Z_{G}=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{S}}{1-\Gamma_{S}}$

整理得

$V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{G}}{2} \frac{\left(1-\Gamma_{S}\right)}{\left(1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right)}$

最終功率表達式

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)$

將 $\Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}$ 帶入,可得無損耗傳輸線輸入功率表達式

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

由於傳輸線是嗚損耗的，所以到達負載的功率等於輸入功率。如果波源和負載的阻抗都與傳輸線相匹配( $\Gamma_{S}=0,\Gamma_{0}=0$ )。上式可簡化爲

$P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{G}}$

如果負載阻抗 $Z_{L}$ 與傳輸線相匹配，而波源阻抗 $Z_{G}$ 與傳輸線不匹配，那麼有些功率將會被反射，僅有最大資用功率的一部分從處輸入傳輸線中

$P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}|1-\Gamma_{S}|^2$

對於波源和負載的阻抗都不匹配的情況，傳輸線兩端都將發生反射，此時只能用無損耗傳輸線輸入功率表達式。

除了瓦特(W)之外，射頻電路設計領域內廣泛使用的功率單位是，定義如下

$P[dBm]=10lg\frac{P}{1mW}$

也就是說，該單位是相對於1毫瓦度量的。

$10^{-7}mW=-70dBm$

例. 若無損耗傳輸線的 $Z_{0}=75\Omega,Z_{G}=50\Omega,Z_{0}=40\Omega$ ，求輸入功率和傳送到負載出的功率，答案用W和dBm表示，假設傳輸線長度爲 $\lambda/2$ ，源電壓 $V_{G}=5V$ 。

解：

傳輸線無損耗，傳送到負載出的功率與輸入功率完全相同。由於傳輸線長度爲 $\lambda/2$ ， $e^{-2j\beta l}=e^{-2j(2\pi/\lambda)(\lambda/2)}=1$ 輸入功率爲

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

波源端反射係數

$\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}=-0.2$

負載處反射係數

$\Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=-0.304$

將 $\Gamma_{0},\Gamma_{S}$ 帶入功率表達式可得

$P_{L}=P_{in}=61.7mW=17.9mW$

上面的分析可以推廣到有損耗傳輸線。由於信號的衰減，輸入功率不再等於負載功率。被負載吸收的功率可以表示爲

$P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{L}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

其中有損耗傳輸線的電壓 $|V_{L}^{+}|=|V_{in}^{+}|e^{-\alpha l}$ ， $\alpha$ 是損耗係數。

那麼被負載吸收的功率最終表達式爲

$P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}e^{-2\alpha l}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

此處，所有的參數都是用波源電壓和反射係數定義的，且 $\Gamma_{in}=\Gamma_{0}e^{-2\gamma l}$ 。

輸入阻抗的匹配

採用集中參數，可將式 $P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$ 表示爲

$P_{\text {in }}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{V_{\text {in }}\left(\frac{V_{\text {in }}^{*}}{Z_{\text {in }}^{*}}\right)\right\}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{\operatorname{Re}\left\{Z_{\text {in }}^{*}\right\}}\left|\frac{Z_{\text {in }}}{Z_{G}+Z_{\text {in }}}\right|^{2}$

假設波阻抗是復常數 $Z_{G}=R_{G}+jX_{G}$ .,可以導出對 $Z_{in}$ 的限制條件，以使傳輸線得到最大輸入功率。將 $P_{in}$ 視爲兩個獨立變量 $R_{in}$ 和 $X_{in}$ 的函數，通過求 $P_{in}$ 對 $R_{in}$ 和 $X_{in}$ 的一階導數並令其爲零的方法，可求出最大功率條件